Find the distance between the points with polar coordinates
((2,
pi / 3)) and ((4,2
pi / 3)).
2<r <= 5,3 pi / 4<theta<5 pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois pontos dados em coordenadas polares l(r1,theta1r)=(2,tfracpi3) e l(r2,theta2r)=(4,tfrac2pi3). O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância em coordenadas polares, que segue do Teorema de Pitágoras ou da Lei dos Cossenos no triângulo formado pelos vetores posição.

Passo 2

Em coordenadas polares, a distância d entre l(r1,theta1r) e l(r2,theta2r) é dada por
d = raizr1^2 + r2^2 - 2,r1,r2cosl(theta2 - theta1r)

Passo 3

Aqui r1=2, r2=4 e
theta2 - theta1 = 2pi3 - pi3 = pi3
Substituindo na fórmula:
d = raiz2^2 + 4^2 - 2cdot2cdot4cos!l(tfracpi3r) = raiz4 + 16 - 16cdot12 = raiz20 - 8 = raiz12

Passo 4

Simplificando raiz12=raiz4cdot3=2raiz3.

Resposta

A distância entre os dois pontos é 2raiz3.

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