Esboce o gráfico das funções. Determine o intervalo onde a função é crescente (e decrescente) e sua imagem::
f(x)=|3 x-4|+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=lvert 3x-4rvert+1, identificar onde ela é crescente e decrescente, e determinar sua imagem. O conteúdo principal é o estudo de funções definidas por valor absoluto, que tratamos escrevendo-as de forma piecewise.

Passo 2

Vamos achar o ponto de “quebra” onde 3x-4=0, ou seja x=tfrac43. Assim
f(x)= -(3x-4)+1=-3x+5, & x<tfrac43, -(3x-4)+1=3x-3, & x>=tfrac43

Passo 3

Para esboçar o gráfico observamos que em x<tfrac43 a função é a reta de coeficiente angular -3 e, em x>=tfrac43, é a reta de coeficiente +3. O vértice fica em
l(tfrac43,,fl(tfrac43r)r) =l(tfrac43,,1r)
Em x=0 temos f(0)=5, e para xtopminfty a função cresce em módulo.

Passo 4

Como a reta de coeficiente -3 decresce, concluímos que f é decrescente em
(-infty,tfrac43)
e, como a reta de coeficiente +3 cresce, f é crescente em
(tfrac43,infty)

Passo 5

O valor mínimo ocorre no vértice e vale f(tfrac43)=1. Para xtopminfty, f(x)toinfty. Logo a imagem é
Im(f)=[1,infty)

Resposta

Decrescente em (-infty,tfrac43).
Crescente em (tfrac43,infty).
Imagem: [1,infty).

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