Find the indefinite integral.
5.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função cujo resultado final apresentado é
. Isso nos indica que a integral que devemos computar é
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
. Informações relevantes dadas:
- Queremos uma primitiva (integral indefinida) de
. - Devemos apresentar a primitiva mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Reescrevemos a função de forma que a regra de potência fique clara. Lembre que
. Assim a integral vira
Explicando: trocar fração por potência com expoente negativo facilita a aplicação da regra de integração por potência.
Passo 3
Aplico a regra básica de integração para potências. A regra diz:
Aqui
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Importante: a regra não vale para
porque aí teríamos divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
Passo 4
Usando a regra em cada parcela separadamente:
- Para
, temos . Então
- Para
, temos . Então
Explanação didática: adicionamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente. No segundo caso,
, por isso aparece o sinal negativo.
Passo 5
Somamos as primitivas parciais e adicionamos a constante de integração
:
Passo 6
Verificação rápida (boa prática em prova): derivando o resultado devemos recuperar o integrando.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Portanto a derivada de é
, que é o integrando original — tudo bateu.
Derivada de
Derivada de
Portanto a derivada de