Find the indefinite integral.
5. \frac{1}{3} x^{3}-(1 / x)+C \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função cujo resultado final apresentado é \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{x}+C. Isso nos indica que a integral que devemos computar é
\int \left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx,
pois a derivada de \frac{1}{3}x^{3} é x^{2} e a derivada de -\frac{1}{x} é \frac{1}{x^{2}}. Informações relevantes dadas:
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida) de \displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}.
  • Devemos apresentar a primitiva mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Reescrevemos a função de forma que a regra de potência fique clara. Lembre que \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}. Assim a integral vira
\int \left(x^{2}+x^{-2}\right)\,dx.
Explicando: trocar fração por potência com expoente negativo facilita a aplicação da regra de integração por potência.

Passo 3

Aplico a regra básica de integração para potências. A regra diz:
\text{Se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Importante: a regra não vale para n=-1 porque aí teríamos divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.

Passo 4

Usando a regra em cada parcela separadamente:
  • Para \int x^{2}\,dx, temos n=2. Então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
  • Para \int x^{-2}\,dx, temos n=-2. Então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Explanação didática: adicionamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente. No segundo caso, -2+1=-1, por isso aparece o sinal negativo.

Passo 5

Somamos as primitivas parciais e adicionamos a constante de integração C:
\int \left(x^{2}+x^{-2}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática em prova): derivando o resultado devemos recuperar o integrando.
Derivada de \frac{x^{3}}{3} é x^{2}.
Derivada de -\frac{1}{x} é +\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada de \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x} é x^{2}+\frac{1}{x^{2}}, que é o integrando original — tudo bateu.

Resposta

\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{x}+C

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