Calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}} x y d z d y d x

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
Temos a integral tripla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}} x y \, d z \, d y \, d x.
  • Limites de x: 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 a \sqrt{1-x^{2}}.
  • Para cada (x,y) a variável z varia de \sqrt{x^{2}+y^{2}} até \sqrt{2-x^{2}}-y^{2}.
  • Integrando a função \,x y em z,y,x.
    O pedido é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Integrando primeiro em z (porque o integrando não depende de z):
A integral interna é
\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}} x y \, d z = x y \Bigg[\; z \;\Bigg]_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{z=\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}} = x y\left(\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
Assim a integral tripla reduz-se à dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\left(\sqrt{2-x^{2}}-y^{2}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y d x.

Passo 3

Observação sobre a região em (x,y): como x\in[0,1] e y\in[0,\sqrt{1-x^{2}}], o domínio \{(x,y)\} é o quarto do disco unitário no primeiro quadrante (ou seja x\ge0,y\ge0,x^{2}+y^{2}\le1). Mas vamos continuar integrando em y primeiro, porque os limites em y são simples.
Separe a integral em três partes correspondentes aos três termos entre parênteses:
I=I_{a}-I_{b}-I_{c},
onde
I_{a}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{2-x^{2}}\, d y d x,
I_{b}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,y^{2}\, d y d x,
I_{c}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y d x.

Passo 4

Calcule I_{c} (o termo com \sqrt{x^{2}+y^{2}}), usando a substituição u=x^{2}+y^{2} quando integrarmos em y para x fixo.
Para x fixo,
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y = x\int_{y=0}^{y=\sqrt{1-x^{2}}} y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y.
Fazendo u=x^{2}+y^{2} temos du=2y\,dy, ou y\,dy=\tfrac{1}{2}du. Quando y=0 temos u=x^{2}; quando y=\sqrt{1-x^{2}} temos u=1. Assim
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y = x\cdot\frac{1}{2}\int_{u=x^{2}}^{1} u^{1/2}\, du = x\cdot\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{x^{2}}^{1}.
Isso dá
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y = x\cdot\frac{1}{3}\left(1-(x^{2})^{3/2}\right).
Como x\ge0, (x^{2})^{3/2}=x^{3}. Logo, para cada x,
\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, d y = \frac{x}{3}\left(1-x^{3}\right).
Portanto
I_{c}=\int_{0}^{1} \frac{x}{3}\left(1-x^{3}\right)\, d x.

Passo 5

Calcule I_{b} e I_{a} parcialmente (os dois termos restantes):
Para I_{b}:
I_{b}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y^{3}\, d y d x = \int_{0}^{1} x\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d x = \int_{0}^{1} x\cdot\frac{(1-x^{2})^{2}}{4}\, d x.
Para I_{a}, note que \sqrt{2-x^{2}} não depende de y, então
I_{a}=\int_{0}^{1} \sqrt{2-x^{2}}\; x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d x = \int_{0}^{1} x\cdot\frac{1-x^{2}}{2}\,\sqrt{2-x^{2}} \, d x.

Passo 6

Reescrevendo tudo, a integral total I é
I=\int_{0}^{1} x\left(\frac{1-x^{2}}{2}\sqrt{2-x^{2}}-\frac{(1-x^{2})^{2}}{4}-\frac{1-x^{3}}{3}\right) d x.
Distribuindo, podemos separar I em três integrais sobre x:
I=\frac{1}{2}\underbrace{\int_{0}^{1} x(1-x^{2})\sqrt{2-x^{2}}\, d x}_{J_{1}} -\frac{1}{4}\underbrace{\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{2}\, d x}_{J_{2}} -\frac{1}{3}\underbrace{\int_{0}^{1} x(1-x^{3})\, d x}_{J_{3}}.
Eu vou calcular primeiro J_{2} e J_{3} (são polinomiais), depois J_{1} (é o mais trabalhosa, com raiz).

Passo 7

Calcule J_{2} e J_{3}:
Para J_{2},
J_{2}=\int_{0}^{1} x(1-x^{2})^{2} d x = \int_{0}^{1} x(1-2x^{2}+x^{4}) d x = \int_{0}^{1} (x-2x^{3}+x^{5}) d x.
Integrando termo a termo:
J_{2}=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.
Para J_{3},
J_{3}=\int_{0}^{1} x(1-x^{3}) d x = \int_{0}^{1} (x-x^{4}) d x =\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}.
Agora as contribuições são:
-\frac{1}{4}J_{2}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}=-\frac{1}{24}, \qquad -\frac{1}{3}J_{3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10}=-\frac{1}{10}.
Somando essas duas contribuições:
-\frac{1}{24}-\frac{1}{10}=-\frac{17}{120}.

Passo 8

Calcule J_{1}=\int_{0}^{1} x(1-x^{2})\sqrt{2-x^{2}}\, d x por substituição conveniente.
Faça t=x^{2}. Então dt=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}dt. Quando x vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim
J_{1}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-t)\sqrt{2-t}\, dt.
Calcule a integral K=\int_{0}^{1} (1-t)\sqrt{2-t}\, dt. Substitua u=2-t, então du=-dt. Quando t=0, u=2; quando t=1, u=1. Temos 1-t=u-1. Logo
K=\int_{u=2}^{u=1} (u-1)\sqrt{u}\,(-du)=\int_{1}^{2} (u-1)u^{1/2}\, du =\int_{1}^{2} (u^{3/2}-u^{1/2})\, du.
Integre:
K=\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2}.
Calcule em u=2: u^{5/2}=2^{5/2}=4\sqrt{2}, u^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2}. Então em u=2 o valor é
\frac{2}{5}\cdot 4\sqrt{2}-\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\left(\frac{8}{5}-\frac{4}{3}\right)\sqrt{2}=\frac{4}{15}\sqrt{2}.
Em u=1 o valor é \frac{2}{5}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{15}. Subtraindo,
K=\frac{4}{15}\sqrt{2}-\left(-\frac{4}{15}\right)=\frac{4}{15}(\sqrt{2}+1).
Portanto
J_{1}=\frac{1}{2}K=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{15}(\sqrt{2}+1)=\frac{2}{15}(\sqrt{2}+1).
A contribuição \frac{1}{2}J_{1} que aparece em I é
\frac{1}{2}J_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{15}(\sqrt{2}+1)=\frac{1}{15}(\sqrt{2}+1).

Passo 9

Juntando as contribuições (a parte com raiz que acabamos de calcular e as partes polinomiais que somaram -\tfrac{17}{120}), obtemos para a integral total I a expressão
I=\frac{1}{15}(\sqrt{2}+1)-\frac{17}{120}.
Não vou simplificar essa expressão aqui (para seguir a regra de deixar a resposta final só em "

Resposta

\displaystyle \frac{8\sqrt{2}-9}{120}

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