Find the limit.
$\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)$

O enunciado pede o valor de

\lim_{x\to -\infty}\bigl(x+\sqrt{x^2+2x}\bigr).

O conteúdo é limites com forma indeterminada

\infty-\infty

e a técnica principal será multiplicar pelo conjugado para eliminar essa indeterminação.

Observamos que, quando

x\to -\infty

, tanto

x

quanto

\sqrt{x^2+2x}

crescem em módulo, levando à forma

\infty - \infty

. Para resolver, multiplicamos a expressão por

\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+2x}-x}{\sqrt{x^2+2x}-x}

, o conjugado de

x+\sqrt{x^2+2x}

Ao multiplicar pelo conjugado:

x+\sqrt{x^2+2x} =\frac{\bigl(x+\sqrt{x^2+2x}\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+2x}-x\bigr)}{\sqrt{x^2+2x}-x} =\frac{x^2+2x - x^2}{\sqrt{x^2+2x}-x} =\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}.

No denominador, usamos que para

x\to -\infty

vale

\sqrt{x^2+2x}=|x|\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}=-\,x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}

. Então

\sqrt{x^2+2x}-x =-\,x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}-x =-\,x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1\bigr).

Logo a expressão fica

\frac{2x}{-x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1\bigr)} =-\,\frac{2}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1}.

Agora basta tomar o limite quando

x\to -\infty

\tfrac{2}{x}\to0

, logo

\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\to1

. Temos

-\,\frac{2}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1}\;\longrightarrow\;-\,\frac{2}{1+1}=-1.

-1

Find the limit. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)