Find the limit.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)$

Passo 1

O enunciado pede

\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\Bigr)

e o conteúdo principal é cálculo de limite no infinito de expressão com raízes. Para resolver vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) e em seguida fatorar

x

dentro das raízes.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela soma das raízes (o conjugado) para eliminar a diferença de raízes no numerador:

\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\bigr)\,\bigl(\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}\bigr)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}} =\frac{(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

No numerador temos

(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)=(a-b)\,x,

logo a expressão vira

\frac{(a-b)\,x}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 3

Vamos fatorar

x^{2}

dentro de cada raiz:

\sqrt{x^{2}+a x} =x\,\sqrt{1+\frac{a}{x}}, \quad \sqrt{x^{2}+b x} =x\,\sqrt{1+\frac{b}{x}}.

Substituindo na fração,

\frac{(a-b)\,x}{x\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x\sqrt{1+\frac{b}{x}}} =\frac{(a-b)\,x}{x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\Bigr)} =\frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}}.

Passo 4

Agora fazemos

x\to\infty

. Como

\tfrac{a}{x}\to0

\tfrac{b}{x}\to0

, cada raiz no denominador tende a

1

, então

\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\;\longrightarrow\;1+1=2.

Dessa forma o limite fica

\lim_{x\to\infty}\frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}} =\frac{a-b}{2}.

Resposta

\frac{a-b}{2}

Find the limit. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)