Find the limits of the following sequences and provide a clear explanation of the reasoning behind each calculation:
d)
d)
Passo 1
O que o problema pede: encontrar o limite, quando
, da sequência
Informações dadas: a expressão da sequência para cada
é exatamente a acima; não há outras hipóteses escondidas. O pedido é apenas o valor limite (se existir).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades da raiz
-ésima:
Assim a sequência pode ser escrita como
Passo 3
Para estudar o comportamento de
é conveniente trabalhar com logaritmos. Defina
como acima e calcule
:
Usando
obtemos
porque
.
Passo 4
Interpretação como soma de Riemann: a soma
é exatamente a soma de Riemann para a função
no intervalo
, usando os pontos
(direitos) e subintervalos de largura
. Mesmo que
tenha singularidade em
, a função é integrável no sentido impróprio em
e as somas de Riemann com esses pontos convergem para a integral imprópria
Essa é uma passagem padrão: somas de Riemann convergem para a integral quando a função é integrável (a singularidade logarithmica em
é integrável).
Passo 5
Calcule a integral
. Use integração por partes: tome
,
, então
,
. Assim
e avaliando de
a
(limite impróprio em
):
Sabemos que
, então o termo limite vale
. Logo
Passo 6
Voltando para
, pela Passo 4 e Passo 5 temos
Logo, exponenciando,
Intuição rápida: heurística clássica é
, daí
, e os passos acima justificam isso de forma rigorosa via log+soma de Riemann.