Find the limits of the following sequences and provide a clear explanation of the reasoning behind each calculation:
d) \sqrt[n]{n!\left(\frac{2}{n}\right)^{n}}\'

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o limite, quando n\to\infty, da sequência
\sqrt[n]{n!\left(\frac{2}{n}\right)^{n}}.
Informações dadas: a expressão da sequência para cada n é exatamente a acima; não há outras hipóteses escondidas. O pedido é apenas o valor limite (se existir).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades da raiz n-ésima:
\sqrt[n]{n!\left(\frac{2}{n}\right)^{n}} =\left(n!\right)^{1/n}\cdot\left(\left(\frac{2}{n}\right)^{n}\right)^{1/n} =\left(n!\right)^{1/n}\cdot\frac{2}{n}.
Assim a sequência pode ser escrita como
a_n=\frac{2}{n}\,(n!)^{1/n}.

Passo 3

Para estudar o comportamento de (n!)^{1/n} é conveniente trabalhar com logaritmos. Defina a_n como acima e calcule \log a_n:
\log a_n=\log\!2+\frac{1}{n}\log(n!)-\log n.
Usando \log(n!)=\sum_{k=1}^{n}\log k obtemos
\log a_n=\log 2+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log k-\log n =\log 2+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\!\left(\frac{k}{n}\right),
porque \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log k-\log n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log(k/n).

Passo 4

Interpretação como soma de Riemann: a soma
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\!\left(\frac{k}{n}\right)
é exatamente a soma de Riemann para a função f(x)=\log x no intervalo [0,1], usando os pontos x_k=\dfrac{k}{n} (direitos) e subintervalos de largura 1/n. Mesmo que \log x tenha singularidade em 0, a função é integrável no sentido impróprio em [0,1] e as somas de Riemann com esses pontos convergem para a integral imprópria
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}\log x\,dx.
Essa é uma passagem padrão: somas de Riemann convergem para a integral quando a função é integrável (a singularidade logarithmica em 0 é integrável).

Passo 5

Calcule a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\log x\,dx. Use integração por partes: tome u=\log x, dv=dx, então du=\dfrac{dx}{x}, v=x. Assim
\int \log x\,dx = x\log x - x + C,
e avaliando de 0 a 1 (limite impróprio em 0):
\int_{0}^{1}\log x\,dx = \big[x\log x - x\big]_{0}^{1} = (1\cdot 0 - 1) - \lim_{t\to0^{+}}(t\log t - t).
Sabemos que \lim_{t\to0^{+}}t\log t = 0, então o termo limite vale 0-0=0. Logo
\int_{0}^{1}\log x\,dx = -1.

Passo 6

Voltando para \log a_n, pela Passo 4 e Passo 5 temos
\lim_{n\to\infty}\log a_n=\log 2 + \int_{0}^{1}\log x\,dx = \log 2 - 1.
Logo, exponenciando,
\lim_{n\to\infty} a_n = \exp(\log 2 - 1)=\frac{2}{e}.
Intuição rápida: heurística clássica é (n!)^{1/n}\sim n/e, daí a_n\sim 2\cdot (n/e)/n = 2/e, e os passos acima justificam isso de forma rigorosa via log+soma de Riemann.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{e}

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