Find the period N of the sequence
x(n)=\cos \left(\frac{n \pi}{8}\right) \cos \left(\frac{2 n \pi}{15}\right)+\sin \left(\frac{n \pi}{3}\right) \sin \left(\frac{n \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o período N da sequência discreta
x(n)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{15}\bigr)\;+\;\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr).
O conteúdo é periodicidade de sequências discretas. Vamos achar o período de cada termo (produto de duas funções) e depois tomar o mínimo múltiplo comum (mmc).

Passo 2

Calcular o período do termo
\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{15}\bigr).
– Para \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{8}\bigr), precisamos de N_a tal que
\tfrac{(n+N_a)\pi}{8} \;=\;\tfrac{n\pi}{8}+2\pi \;\Longrightarrow\; \tfrac{N_a}{8}=2 \;\Longrightarrow\; N_a=16.
– Para \cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{15}\bigr), precisamos de N_b tal que
\tfrac{2(n+N_b)\pi}{15} \;=\;\tfrac{2n\pi}{15}+2\pi \;\Longrightarrow\; \tfrac{2\,N_b}{15}=2 \;\Longrightarrow\; N_b=15.
O produto tem período \mathrm{mmc}(N_a,N_b)=\mathrm{mmc}(16,15)=240.

Passo 3

Calcular o período do termo
\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr).
– Para \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr), busque N_c com
\tfrac{(n+N_c)\pi}{3}=\tfrac{n\pi}{3}+2\pi \;\Longrightarrow\; N_c=6.
– Para \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr), busque N_d com
\tfrac{(n+N_d)\pi}{4}=\tfrac{n\pi}{4}+2\pi \;\Longrightarrow\; N_d=8.
O produto tem período \mathrm{mmc}(N_c,N_d)=\mathrm{mmc}(6,8)=24.

Passo 4

Como x(n) é soma dos dois produtos, seu período é
\mathrm{mmc}\bigl(240,\,24\bigr)=240.

Resposta

N=240

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