Determine whether or not the signals below are periodic and, for each signal that is periodic, determine the fundamental period.
Passo 1
O enunciado nos dá o sinal discreto
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, achar o período fundamental. Para isso, lembramos que em tempo discreto um sinal é periódico se existe inteiro
tal que
No caso de produto de dois sinais, cada um deve ser periódico e então o período comum é o mínimo múltiplo inteiro dos períodos individuais.
Passo 2
Analisando o termo complexo
com
, ele é periódico se
for racional, o que de fato é. O período mínimo
satisfaz
Passo 3
Agora o termo
com
é periódico se
for racional. O menor
satisfaz
Passo 4
Para que o produto seja periódico, precisamos de
que seja múltiplo comum de
e
. O período fundamental
é o mínimo múltiplo comum:
Passo 5
Como nenhum inteiro positivo menor que
é simultaneamente múltiplo de
e de
, concluímos que
é de fato o menor período.
Resposta
O sinal é periódico e o período fundamental é
.