Determine whether or not the signals below are periodic and, for each signal that is periodic, determine the fundamental period.
x(n)=e^{j \frac{\pi}{16} n} \cos (n \pi / 17)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto
x(n)=e^{j\frac{\pi}{16}n}\,\cos\bigl(n\frac{\pi}{17}\bigr)
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, achar o período fundamental. Para isso, lembramos que em tempo discreto um sinal é periódico se existe inteiro N>0 tal que
x(n+N)=x(n)\quad\forall n.
No caso de produto de dois sinais, cada um deve ser periódico e então o período comum é o mínimo múltiplo inteiro dos períodos individuais.

Passo 2

Analisando o termo complexo e^{j\omega_0 n} com \omega_0=\pi/16, ele é periódico se
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{32}
for racional, o que de fato é. O período mínimo N_1 satisfaz
\omega_0 N_1 = 2\pi\quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{16}N_1=2\pi
N_1=32.

Passo 3

Agora o termo \cos(n\omega_1) com \omega_1=\pi/17 é periódico se
\frac{\omega_1}{2\pi}=\frac{1}{34}
for racional. O menor N_2 satisfaz
\omega_1 N_2 = 2\pi\quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{17}N_2=2\pi
N_2=34.

Passo 4

Para que o produto seja periódico, precisamos de N que seja múltiplo comum de N_1 e N_2. O período fundamental N_0 é o mínimo múltiplo comum:
N_0 = \lcm(32,\,34) = 544.

Passo 5

Como nenhum inteiro positivo menor que 544 é simultaneamente múltiplo de 32 e de 34, concluímos que N_0=544 é de fato o menor período.

Resposta

O sinal é periódico e o período fundamental é 544.

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