Consider the sequence
x(n)=\left(\frac{3}{2}\right)^{n} u(-n)
(a) Find the numerical value of
A=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)
(b) Compute the power in x(n),
P=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x^{2}(n)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
x(n)=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n}u(-n)
e pede
A=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n) \quad\text{e}\quad P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{2}(n).
Para resolver, vamos usar que u(-n)=1 se e somente se n\le0 e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Como u(-n)=1 para n\le0 e zero para n>0, temos
A=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n) =\sum_{n=-\infty}^{0}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n}.
Fazendo a troca de variável
m=-n\quad\Longrightarrow\quad n=-m,
o índice n=-\infty,\dots,0 vira m=0,1,2,\dots e
\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n} =\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{-m} =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{m}.
Logo
A=\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{m}.

Passo 3

Para uma série geométrica com razão r tal que |r|<1, vale
\sum_{m=0}^{\infty}r^{m}=\frac{1}{1-r}.
Aqui r=\tfrac{2}{3}, portanto
A=\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}}=3.

Passo 4

Para calcular
P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{2}(n) =\sum_{n=-\infty}^{0}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2n}
repetimos a troca m=-n. Então
\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2n} =\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{-2m} =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2m} =\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{m},
e
P=\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{m} =\frac{1}{1-\tfrac{4}{9}} =\frac{9}{5}.

Resposta

A=3
P=\dfrac{9}{5}

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