Find the value of \partial z / \partial x at the point (1,1,1) if the equation
x y+z^{3} x-2 y z=0
defines z as a function of the two independent variables x and y and the partial derivative exists.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,y + x\,z^3 - 2\,y\,z = 0
que define z como função de (x,y). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e o que precisamos é \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} no ponto (1,1,1).

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z) = x\,y + x\,z^3 - 2\,y\,z,
de modo que a condição é F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = y + z^3,
F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = 3\,x\,z^2 - 2\,y.

Passo 4

Pela regra da diferenciação implícita para \displaystyle z=z(x,y), temos
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}.

Passo 5

Avaliamo-las em (x,y,z)=(1,1,1):
F_x(1,1,1)=1 + 1^3 = 2, \quad F_z(1,1,1)=3\cdot1\cdot1^2 - 2\cdot1 = 3-2 = 1.
Logo
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,1,1)} = -\frac{2}{1} = -2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados