Find the value of \partial x / \partial z at the point (1,-1,-3) if the equation
x z+y \ln x-x^{2}+4=0
defines x as a function of the two independent variables y and z and the partial derivative exists.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,z + y\,\ln x - x^{2} + 4 = 0
que define x como função de (y,z). Queremos \displaystyle \frac{\partial x}{\partial z} em (x,y,z)=(1,-1,-3). Vamos usar o Teorema da Função Implícita, diferenciando F(x,y,z)=0 em relação a z, com y constante.

Passo 2

Defina
F(x,y,z) = x\,z + y\,\ln x - x^{2} + 4.
Diferenciando implicitamente em relação a z (com y fixo) obtemos
\frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial z} +\frac{\partial F}{\partial z}=0.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} = z + y\cdot\frac{1}{x} - 2x, \qquad \frac{\partial F}{\partial z} = x.
Logo,
\frac{\partial x}{\partial z} = -\,\frac{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}} {\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}} = -\,\frac{x}{\,z + \frac{y}{x} - 2x\,}.

Passo 4

Avalie em (x,y,z)=(1,-1,-3):
\text{numerador} = -\,x = -1,
\text{denominador} = z + \frac{y}{x} - 2x = -3 + \frac{-1}{1} - 2\cdot1 = -3 -1 -2 = -6.
Portanto
\frac{\partial x}{\partial z}\Bigg|_{(1,-1,-3)} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial x}{\partial z}\Big|_{(1,-1,-3)} = \frac{1}{6}.

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