7.19 Em coordenadas esféricas, a superfície de um cone condutor sólido é descrita por \theta=\pi / 4, e a de um plano condutor, por \theta=\pi / 2. Cada um conduz uma corrente total igual a I. A corrente flui como uma corrente superficial radialmente para dentro, no plano em direção ao vértice do cone, e então flui radialmente para fora em toda a parte da seção reta (transversal) do condutor cônico. (a) Expresse a densidade superficial de corrente como uma função de r; (b) expresse a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de r; (c) determine
\mathbf{H} como uma função de r e \theta na região entre o cone e o plano; ( d ) determine
\mathbf{H} como uma função de r e \theta no interior do cone.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor formado por um cone sólido cuja superfície lateral está em \theta=\pi/4 e por um plano em \theta=\pi/2. Cada um desses condutores transporta uma corrente total I. No plano \theta=\pi/2 a corrente superficial flui radialmente para dentro, em direção ao vértice do cone, e no interior do cone 0\le\theta\le\pi/4 ela flui radialmente para fora, atravessando a seção transversal do cone. Para resolver usamos: conservação de corrente (cálculo de densidades de corrente superficial e volumétrica) e a Lei de Ampère simétrica para determinar \mathbf{H}.

Passo 2

Para a densidade superficial de corrente no plano condutor note que, em qualquer círculo de raio \rho no plano, a corrente total atravessando essa circunferência é sempre I. Se \mathbf{K}_s(\rho) é a densidade superficial radial, então
2\pi\,\rho\,K_s(\rho)=I
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K_s(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}.
No plano \theta=\pi/2 temos \rho=r, de modo que
\boxed{\mathbf{K}_s(r)=-\frac{I}{2\pi\,r}\,\hat e_r,}
sendo o sinal “ -” porque o fluxo é radial para dentro.

Passo 3

Para a densidade volumétrica no interior do cone usamos que, numa esfera de raio r, a corrente total atravessa a área da “calota” de abertura \theta=\pi/4. Essa área é
A_{\rm cone}(r) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =2\pi\,r^2\bigl(1-\cos(\pi/4)\bigr).
Como a corrente total é I e flui radialmente para fora,
\boxed{\mathbf{J}_v(r) =\frac{I}{2\pi\,r^2\bigl(1-\cos(\pi/4)\bigr)}\,\hat e_r.}

Passo 4

Na região entre o cone e o plano \pi/4<\theta<\pi/2 não há corrente volumétrica, só a superficial no plano. Pelo simetria \mathbf{H} tem só componente \varphi. Tomamos um laço circular de raio r\sin\theta e aplicamos
\oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol\ell =H_\varphi\,(2\pi\,r\sin\theta) =I_{\rm enc}=I.
Logo
\boxed{\mathbf{H}(r,\theta) =\frac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\,\hat e_\varphi, \quad \pi/4<\theta<\pi/2.}

Passo 5

No interior do cone 0\le\theta\le\pi/4 aplicamos Ampère a um laço igual e vemos que a corrente envolvida é a parte da corrente volumétrica contida entre \theta'=0 e \theta'=\theta. Assim
H_\varphi\,(2\pi\,r\sin\theta) =I_{\rm enc} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\theta} J_v(r)\,r^2\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi =I\,\frac{1-\cos\theta}{1-\cos(\pi/4)}.
Portanto
\boxed{\mathbf{H}(r,\theta) =\frac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\, \frac{1-\cos\theta}{1-\cos(\pi/4)}\,\hat e_\varphi, \quad 0\le\theta\le\pi/4.}

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{K}_s(r)=-\frac{I}{2\pi\,r}\,\hat e_r.
(b) \displaystyle \mathbf{J}_v(r)=\frac{I}{2\pi\,r^2\bigl(1-\cos(\pi/4)\bigr)}\,\hat e_r.
(c) \displaystyle \mathbf{H}(r,\theta)=\frac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\,\hat e_\varphi,\quad \pi/4<\theta<\pi/2.
(d) \displaystyle \mathbf{H}(r,\theta)=\frac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\,\frac{1-\cos\theta}{1-\cos(\pi/4)}\,\hat e_\varphi,\quad 0\le\theta\le\pi/4.

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