5.8-1 As tensões de cisalhamento tau em uma viga retangular são dadas pela Equação (5.39):
tau=V2 I(h^24-y1^2)
em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da área da seção transversal, h é a altura da viga e y1 é a distância da linha neutra ao ponto em que a tensão de cisalhamento está sendo determinada (Figura 5.30).
Integrando sobre a área da seção transversal, mostre que a resultante das tensões de cisalhamento é igual à força cortante V.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de tensão de cisalhamento em uma viga retangular de largura b e altura h como
tau(y1)=V2Il(h^24-y1^2r),
onde y1 varia de -tfrach2 a tfrach2. O objetivo é mostrar que a resultante das tensões de cisalhamento sobre toda a seção transversal, isto é
R=integralA tau,dA,
é igual à força cortante V. Para isso vamos usar a definição de I para seção retangular e calcular essa integral.

Passo 2

Expressamos a resultante R como integral ao longo da altura, tomando um elemento de área dA=b,dy1:
R=integralA tau,dA =integral-,h/2^h/2V2Il(h^24-y1^2r),b,dy1

Passo 3

Sabemos que o momento de inércia de uma seção retangular é
I=b,h^312
Substituindo isso em R e tirando constantes fora da integral, obtemos
R=b,V2Iintegral-h/2^h/2l(h^24-y1^2r)dy1

Passo 4

Calculemos a integral
integral-h/2^h/2l(h^24-y1^2r)dy1 =[h^24,y1-y1^33]-,h/2^h/2 =2l(h^38-h^324r) =h^36

Passo 5

Substituindo esse resultado em R:
R=b,V2I,h^36 =b,V,h^312,I
Como I=b,h^3/12, concluímos
R=b,V,h^312,(b,h^3/12)=V

Resposta

A resultante das tensões de cisalhamento sobre a seção é igual à força cortante V.

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