5.8-1 As tensões de cisalhamento
em uma viga retangular são dadas pela Equação (5.39):
em que
é a força cortante,
é o momento de inércia da área da seção transversal,
é a altura da viga e
é a distância da linha neutra ao ponto em que a tensão de cisalhamento está sendo determinada (Figura 5.30).
Integrando sobre a área da seção transversal, mostre que a resultante das tensões de cisalhamento é igual à força cortante
.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de tensão de cisalhamento em uma viga retangular de largura
e altura
como
onde
varia de
a
. O objetivo é mostrar que a resultante das tensões de cisalhamento sobre toda a seção transversal, isto é
é igual à força cortante
. Para isso vamos usar a definição de
para seção retangular e calcular essa integral.
Passo 2
Expressamos a resultante
como integral ao longo da altura, tomando um elemento de área
:
Passo 3
Sabemos que o momento de inércia de uma seção retangular é
Substituindo isso em
e tirando constantes fora da integral, obtemos
Passo 4
Calculemos a integral
Passo 5
Substituindo esse resultado em
:
Como
, concluímos
Resposta
A resultante das tensões de cisalhamento sobre a seção é igual à força cortante
.