Um fio de comprimento ell é dobrado na forma de uma espira de raio Ra e um outro fio idêntico é dobrado na forma de uma bobina constituída de 2 espiras, de raio Rb. A espira e a bobina transportam uma mesma corrente i. Se Ba e Bb são os campos no centro da espira e no centro da bobina, respectivamente, determine a razão Bb / Ba.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: você tem um fio comprido de comprimento ell que você dobra num único círculo de raio Ra, e outro fio igual você dobra em duas voltas (duas espiras) de raio Rb. Em cada caso passa a mesma corrente i. Chamam de Ba o campo no centro da espira única e de Bb o campo no centro da bobina de 2 espiras. A pergunta é: qual é a razão BbBa?
Conteúdo: magnetismo, campo magnético no centro de uma espira circular. Vamos precisar da fórmula do campo de uma espira e de expressar os raios em função de ell.

Passo 2

Antes de tudo queremos achar Ra e Rb em termos de ell.
  • Para a espira única: o fio faz uma volta, então o comprimento ell = 2pi Ra. Dali
Ra = ell2pi,
  • Para a bobina de 2 espiras: o fio dá duas voltas, cada volta com circunferência 2pi Rb, então
ell = 2times (2pi Rb)=4pi Rb Longrightarrow Rb = ell4pi,

Passo 3

Agora lembramos da fórmula do campo magnético no centro de uma bobina de N voltas e raio R, que vem da lei de Biot-Savart ou da superposição de espiras:
B = mu0,N,i2R,
  • Para a espira única ( N=1, raio Ra):
Ba = mu0,i2Ra,
  • Para a bobina de 2 voltas ( N=2, raio Rb):
Bb = mu0,2,i2Rb = mu0,iRb,

Passo 4

Só falta a razão:
BbBa = mu0,iRb mu0,i2Ra = 1/Rb1/(2Ra) = 2,RaRb,
Agora substituímos Ra = ell2pi e Rb = ell4pi:
2,RaRb = 2,ell/(2pi)ell/(4pi) = 2,ell2pitimes4piell = 2times 2 =4,

Resposta

\displaystyle \frac{B_b}{B_a} = 4.

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