Um fio condutor estreito tem um outro fio condutor de comprimento
e massa
suspenso pelas duas molas iguais, cada uma com o coeficiente de Hooke
(veja figura). Considere que os dois fios condutores estão a uma distância inicial
, onde
, sendo
o comprimento da mola relaxada. Sem nenhuma corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é tal que
.
Calcule a força magnética que o fio comprido faz no fio curto.
Calcule a força magnética que o fio comprido faz no fio curto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois fios condutores suspensos por molas. Temos um fio curto de comprimento
e massa
, apoiado por duas molas com constante de Hooke
. A distância inicial entre os fios é
, onde
é o comprimento das molas sem nenhuma força atuando. Quando não tem corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é dada por
. Nosso objetivo aqui é calcular a força magnética que o fio longo exerce no fio curto. Vamos precisar entender um pouco sobre forças magnéticas entre fios e como elas interagem com as molas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio sem corrente. A força gravitacional que age no fio curto é
. Essa força é equilibrada pela força exercida pelas duas molas, que é
. Então, temos:
Isso nos dá a relação entre o alongamento das molas
e a massa do fio
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o que acontece quando há corrente passando nos fios. Correntes elétricas geram campos magnéticos, e quando duas correntes passam em fios paralelos, elas exercem forças magnéticas entre si. A força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos com correntes
e
separados por uma distância
é dada por:
Onde
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 4
Para encontrar a força total magnética
que o fio longo exerce no fio curto, multiplicamos a força por unidade de comprimento pela extensão do fio curto
:
Assumindo que as correntes nos fios são iguais, ou seja,
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar essa força magnética com o sistema de molas e a posição de equilíbrio. Quando a corrente está presente, a força magnética pode causar uma diferença no alongamento das molas. Se a força magnética for atraente, ela reduzirá a distância
, ou seja, aumentará
.
Então, a nova condição de equilíbrio considerando a força magnética fica:
Substituindo
:
Passo 6
Mas neste exercício, o foco é calcular a força magnética
. Então, isolando
:
No estado sem corrente, temos
. Portanto, se substituirmos, veremos que:
Isso indica que, para haver uma força magnética, deve haver uma corrente nos fios. Supondo que há uma corrente, a força magnética será calculada pela fórmula que derivamos anteriormente.
Resposta
A força magnética que o fio longo exerce no fio curto é: