Um fio condutor estreito tem um outro fio condutor de comprimento ell e massa m suspenso pelas duas molas iguais, cada uma com o coeficiente de Hooke k (veja figura). Considere que os dois fios condutores estão a uma distância inicial h, onde h=h0+De, sendo h0 o comprimento da mola relaxada. Sem nenhuma corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é tal que m g-2 k De.
Calcule a força magnética que o fio comprido faz no fio curto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois fios condutores suspensos por molas. Temos um fio curto de comprimento ell e massa m, apoiado por duas molas com constante de Hooke k. A distância inicial entre os fios é h = h0 + De, onde h0 é o comprimento das molas sem nenhuma força atuando. Quando não tem corrente passando nos fios, a posição de equilíbrio é dada por m g - 2 k De. Nosso objetivo aqui é calcular a força magnética que o fio longo exerce no fio curto. Vamos precisar entender um pouco sobre forças magnéticas entre fios e como elas interagem com as molas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio sem corrente. A força gravitacional que age no fio curto é m g. Essa força é equilibrada pela força exercida pelas duas molas, que é 2 k De. Então, temos:
m g - 2 k De
Isso nos dá a relação entre o alongamento das molas De e a massa do fio m.

Passo 3

Agora, vamos considerar o que acontece quando há corrente passando nos fios. Correntes elétricas geram campos magnéticos, e quando duas correntes passam em fios paralelos, elas exercem forças magnéticas entre si. A força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos com correntes I1 e I2 separados por uma distância h é dada por:
fm = mu0 I1 I22 pi h
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 4

Para encontrar a força total magnética Fm que o fio longo exerce no fio curto, multiplicamos a força por unidade de comprimento pela extensão do fio curto ell:
Fm = fm times ell = mu0 I1 I2 ell2 pi h
Assumindo que as correntes nos fios são iguais, ou seja, I1 = I2 = I, simplificamos para:
Fm = mu0 I^2 ell2 pi h

Passo 5

Agora, precisamos relacionar essa força magnética com o sistema de molas e a posição de equilíbrio. Quando a corrente está presente, a força magnética pode causar uma diferença no alongamento das molas. Se a força magnética for atraente, ela reduzirá a distância h, ou seja, aumentará De.
Então, a nova condição de equilíbrio considerando a força magnética fica:
m g - 2 k De
Substituindo Fm:
m g - 2 k De

Passo 6

Mas neste exercício, o foco é calcular a força magnética Fm. Então, isolando Fm:
Fm = 2 k De
No estado sem corrente, temos m g = 2 k De. Portanto, se substituirmos, veremos que:
Fm = 0
Isso indica que, para haver uma força magnética, deve haver uma corrente nos fios. Supondo que há uma corrente, a força magnética será calculada pela fórmula que derivamos anteriormente.

Resposta

A força magnética que o fio longo exerce no fio curto é:
Fm = mu0 I^2 ell2 pi h

Exercícios relacionados