Considere um solenoide cilíndrico disposto no plano x y, centrado na origem, (0,0,0), com N=1000 espiras, um comprimento de ell=30 cm e um raio de a=1,5 cm. O eixo do solenoide faz um ângulo de 30 graus com o eixo x (considere a aproximação de solenoide ideal).
A força eletromotriz induzida numa espira de 10 cm de raio disposta de tal forma que seu centro coincide com o centro do solenoide e seu eixo coincide com o eixo x quando o solenoide é percorrido por uma corrente elétrica variável no tempo I(t)=I0-alpha t^2, onde I0=80 A e alpha=1600 A / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui! Temos um solenoide cilíndrico no plano , com 1000 espiras, comprimento de 30 cm e raio de 1,5 cm. O eixo do solenoide está inclinado 30 graus em relação ao eixo . Além disso, há uma espira circular de 10 cm de raio, centrada no mesmo ponto do solenoide e alinhada com o eixo . A corrente no solenoide varia no tempo conforme , onde e .
Vamos usar conceitos de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética para encontrar a força eletromotriz (f.e.m.) induzida na espira. Precisaremos entender como o fluxo magnético gerado pelo solenoide passa pela espira e como a variação dessa corrente no tempo afeta a f.e.m. induzida.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o campo magnético dentro do solenoide. Para um solenoide ideal, o campo magnético B = mu0 Nell I(t) é dado por:
B = 4pi times 10^-7 times 10000,30 times (80 - 1600 t^2)
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o número de espiras,
  • é o comprimento do solenoide,
  • é a corrente no solenoide.
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o fluxo magnético Phi = B cdot A cdot cos(theta) que passa pela espira. O fluxo magnético é dado por:
A = pi r^2 = pi (0,10)^2 = 0,01pi , m^2
onde:
  • Phi = [4pi times 10^-7 times 10000,30 times (80 - 1600 t^2)] times 0,01pi times cos(30^circ) é a área da espira,
  • é o ângulo entre o eixo do solenoide e o eixo .
A área da espira de raio 10 cm (0,10 m) é:
Substituindo e :

Passo 4

A f.e.m. induzida E = -dPhidt é dada pela taxa de variação do fluxo magnético:
dPhidt = 4pi times 10^-7 times 10000,30 times (-3200 t) times 0,01pi times cos(30^circ)
Vamos calcular a derivada de E = -[4pi times 10^-7 times 10000,30 times (-3200 t) times 0,01pi times cos(30^circ)] em relação ao tempo . Observando a expressão de , a única parte que depende de é . Assim, a derivada fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para encontrar a f.e.m.:
E = 4pi times 10^-7 times 10000,30 times 3200 t times 0,01pi times cos(30^circ)
Calculando os valores numéricos:
E = 4pi times 10^-7 times 10000,30 times 3200 times 0,01pi times raiz32 times t
E approx 4 times 3,1416 times 10^-7 times 3333,33 times 3200 times 0,01 times 3,1416 times 0,8660 times t
E approx 1,54 times t , V

Resposta

A força eletromotriz induzida na espira é aproximadamente volts, onde é o tempo em segundos.

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