Um fio elétrico de cobre tem um diâmetro externo de 3 mm . O fio opera com uma temperatura de superfície constante 70^{\circ} \mathrm{C}. O fio está exposto ao ar ambiente, que está a uma temperatura 20^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de transferência de calor por convecção entre o isolamento e o ar é de 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Deseja-se isolar o fio com um material plástico cuja condutividade térmica é 0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}.
a) Calcule o raio crítico de isolamento.
b) Calcule a taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento.
c) Qual deve ser a espessura do isolamento que maximiza a perda de calor? Calcule a taxa máxima de perda de calor por unidade de comprimento para essa espessura.
d) Qual seria a taxa de perda de calor se o fio fosse isolado com a espessura de 6 mm ? O isolamento reduziu a perda de calor neste caso?

Passo 1

O enunciado dá um fio de cobre com diâmetro externo 3\\ \mathrm{mm}. O fio tem temperatura de superfície constante 70^\circ\mathrm{C} e o ar ambiente está a 20^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de convecção entre isolamento e ar é h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Deseja-se aplicar um isolamento com condutividade térmica k=0{,}15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Dados numéricos (extraídos do enunciado):
\begin{aligned} \text{diâmetro do fio}&=3\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r_1=1{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0015\\ \mathrm{m},\\\ T_s&=70^\circ\mathrm{C},\\\ T_\infty&=20^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T&=T_s-T_\infty=50\\ \mathrm{K},\\\ h&=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\\ k&=0{,}15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. \end{aligned}â
O que se pede:
a) raio crítico do isolamento;
b) taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento;
c) espessura do isolamento que maximiza a perda de calor e a taxa máxima de perda por unidade de comprimento;
d) taxa de perda de calor se a espessura do isolamento for 6\\ \mathrm{mm} e se esse isolamento reduziu a perda.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas úteis — explicação didática.
Quando isolamos um fio cilíndrico, o fluxo de calor por unidade de comprimento q' do fio para o ar passa por duas resistências em série por unidade de comprimento: resistência de condução no isolamento (cilíndrico) e resistência convectiva na superfície externa. As fórmulas são:
resistência de condução radial do cilindro entre raios r_1 e r_2:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}
resistência convectiva na superfície externa de raio r_2:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_2 h}
resistência térmica total por unidade de comprimento:
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}
e a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (fluxo radial estacionário) é dada por:
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
Explicação das variáveis:
  • r_1 é o raio do fio (m), r_2 é o raio externo do isolamento (m).
  • k é a condutividade térmica do isolamento (W/(m·K)).
  • h é o coeficiente de convecção (W/(m^2·K)).
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre superfície do fio e o ar (K).
    Essas fórmulas são padrão para problemas de condução radial em cilindros e convecção sobre cilindros.

Passo 3

Derivação do raio crítico — por que existe e como calcular.
Queremos saber para qual r_2 a perda de calor q' é máxima (ou equivalentemente a resistência total R_{\text{total}} é mínima). Tomamos derivada de R_{\text{total}} em relação a r_2 e igualamos a zero.
Começamos com
R_{\text{total}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}+\frac{1}{2\pi r_2 h}.
Derivando em relação a r_2:
\frac{dR_{\text{total}}}{dr_2}=\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_2}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_2^2}.
Igualando a zero para extremo:
\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_2}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_2^2}=0.
Multiplicando por 2\pi r_2^2 obtemos
\frac{r_2}{k}-\frac{1}{h}=0\quad\Rightarrow\quad r_2=\frac{k}{h}.
Portanto o raio crítico do isolamento é
r_{\text{crit}}=\frac{k}{h}.
Interpretação física curta: se o isolamento for fino (raio final menor que r_{\text{crit}}) a área de troca convectiva aumenta mais rapidamente do que a resistência de condução adicional, então a perda aumenta; se o isolamento for maior que r_{\text{crit}}, a resistência de condução adicional domina e a perda diminui.

Passo 4

Cálculo do item (a) — raio crítico. Usando k=0{,}15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}:
r_{\text{crit}}=\frac{k}{h}=\frac{0{,}15}{15}=0{,}01\\ \mathrm{m}=10\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Cálculo do item (b) — perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento.
Sem isolamento, a superfície externa do fio é de raio r_1=0{,}0015\\ \mathrm{m} e o fluxo é por convecção direta. A expressão simples é:
q'_{\text{sem}}=2\pi r_1 h\,\Delta T.
Substituindo:
q'_{\text{sem}}=2\pi(0{,}0015)(15)(50).
Calcule passo a passo:
2\pi(0{,}0015)=0{,}00942478\ldots
0{,}00942478\cdot 15=0{,}1413717\ldots
0{,}1413717\cdot 50=7{,}068585\ldots
Logo
q'_{\text{sem}}\approx 7{,}07\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Cálculo do item (c) — espessura que maximiza a perda e taxa máxima.
Do passo 3 já sabemos que o raio externo que maximiza a perda é r_2=r_{\text{crit}}=0{,}01\\ \mathrm{m}. A espessura do isolamento que maximiza a perda é:
\text{espessura}_{\text{máx}}=r_2-r_1=0{,}01-0{,}0015=0{,}0085\\ \mathrm{m}=8{,}5\\ \mathrm{mm}.á
Agora calculamos a taxa máxima de perda usando as resistências. Primeiro calcule R_{\text{cond}} com r_2=0{,}01\\ \mathrm{m}:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}01}{0{,}0015}\right)}{2\pi(0{,}15)}=\frac{\ln(6{,}6666667)}{0{,}9424778}\approx\frac{1{,}89712}{0{,}9424778}\approx 2{,}0136\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Em seguida R_{\text{conv}}:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi(0{,}01)(15)}=\frac{1}{0{,}9424778}\approx 1{,}06066\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Resistência total:
R_{\text{total}}=2{,}0136+1{,}06066=3{,}07426\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Taxa de perda máxima:
q'_{\text{máx}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{50}{3{,}07426}\approx 16{,}27\\ \mathrm{W/m}.á

Passo 7

Cálculo do item (d) — isolamento com espessura 6\\ \mathrm{mm}.
Aqui a espessura é t=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}. Então o raio externo é
r_2=r_1+t=0{,}0015+0{,}006=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Calcule R_{\text{cond}}:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0075}{0{,}0015}\right)}{2\pi(0{,}15)}=\frac{\ln(5)}{0{,}9424778}\approx\frac{1{,}609438}{0{,}9424778}\approx 1{,}7080\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Calcule R_{\text{conv}}:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi(0{,}0075)(15)}=\frac{1}{0{,}70685835}\approx 1{,}41421\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Resistência total:
R_{\text{total}}=1{,}7080+1{,}41421=3{,}12221\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Taxa de perda com 6\\ \mathrm{mm}:
q'_{6\\ \mathrm{mm}}=\frac{50}{3{,}12221}\approx 16{,}02\\ \mathrm{W/m}.
Comparação e interpretação final: sem isolamento q'_{\text{sem}}\approx 7{,}07\\ \mathrm{W/m}. Com 6\\ \mathrm{mm} de isolamento q'_{6\\ \mathrm{mm}}\approx 16{,}02\\ \mathrm{W/m}, ou seja, a perda aumentou. Isso acontece porque r_2=7{,}5\\ \mathrm{mm} é menor que o raio crítico 10\\ \mathrm{mm}; ao adicionar isolamento até o raio crítico a área convectiva aumenta mais do que a resistência de condução adicionada, resultando em maior perda de calor. Apenas quando o isolamento excede o raio crítico a perda começará a diminuir.

Resposta

(a) r_{\text{crit}}=0{,}01\\ \mathrm{m}=10\\ \mathrm{mm}.
(b) q'_{\text{sem}}\approx 7{,}07\\ \mathrm{W/m}.
(c) \text{espessura}_{\text{máx}}=8{,}5\\ \mathrm{mm};\quad q'_{\text{máx}}\approx 16{,}27\\ \mathrm{W/m}.áá
(d) q'_{6\\ \mathrm{mm}}\approx 16{,}02\\ \mathrm{W/m}. Não — com 6\\ \mathrm{mm} o isolamento aumentou a perda de calor (pois r_2<r_{\text{crit}}).

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