Um fio elétrico de cobre tem um diâmetro externo de 3 mm . O fio opera com uma temperatura de superfície constante
. O fio está exposto ao ar ambiente, que está a uma temperatura
coeficiente de transferência de calor por convecção entre o isolamento e o ar é de
. Deseja-se isolar o fio com um material plástico cuja condutividade térmica é
.
a) Calcule o raio crítico de isolamento.
b) Calcule a taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento.
c) Qual deve ser a espessura do isolamento que maximiza a perda de calor? Calcule a taxa máxima de perda de calor por unidade de comprimento para essa espessura.
d) Qual seria a taxa de perda de calor se o fio fosse isolado com a espessura de 6 mm ? O isolamento reduziu a perda de calor neste caso?
a) Calcule o raio crítico de isolamento.
b) Calcule a taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento.
c) Qual deve ser a espessura do isolamento que maximiza a perda de calor? Calcule a taxa máxima de perda de calor por unidade de comprimento para essa espessura.
d) Qual seria a taxa de perda de calor se o fio fosse isolado com a espessura de 6 mm ? O isolamento reduziu a perda de calor neste caso?
Passo 1
O enunciado dá um fio de cobre com diâmetro externo
. O fio tem temperatura de superfície constante
e o ar ambiente está a
. O coeficiente de convecção entre isolamento e ar é
. Deseja-se aplicar um isolamento com condutividade térmica
.
Dados numéricos (extraídos do enunciado):
Dados numéricos (extraídos do enunciado):
O que se pede:
a) raio crítico do isolamento;
b) taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento;
c) espessura do isolamento que maximiza a perda de calor e a taxa máxima de perda por unidade de comprimento;
d) taxa de perda de calor se a espessura do isolamento for e se esse isolamento reduziu a perda.
a) raio crítico do isolamento;
b) taxa de perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento;
c) espessura do isolamento que maximiza a perda de calor e a taxa máxima de perda por unidade de comprimento;
d) taxa de perda de calor se a espessura do isolamento for
Passo 2
Modelo físico e fórmulas úteis — explicação didática.
Quando isolamos um fio cilíndrico, o fluxo de calor por unidade de comprimento do fio para o ar passa por duas resistências em série por unidade de comprimento: resistência de condução no isolamento (cilíndrico) e resistência convectiva na superfície externa. As fórmulas são:
Quando isolamos um fio cilíndrico, o fluxo de calor por unidade de comprimento
resistência de condução radial do cilindro entre raios
e
:
resistência convectiva na superfície externa de raio
:
resistência térmica total por unidade de comprimento:
e a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (fluxo radial estacionário) é dada por:
Explicação das variáveis:
-
é o raio do fio (m), é o raio externo do isolamento (m). -
é a condutividade térmica do isolamento (W/(m·K)). -
é o coeficiente de convecção (W/(m^2·K)). -
é a diferença de temperatura entre superfície do fio e o ar (K).
Essas fórmulas são padrão para problemas de condução radial em cilindros e convecção sobre cilindros.
Passo 3
Derivação do raio crítico — por que existe e como calcular.
Queremos saber para qual a perda de calor
é máxima (ou equivalentemente a resistência total
é mínima). Tomamos derivada de
em relação a
e igualamos a zero.
Queremos saber para qual
Começamos com
Derivando em relação a
:
Igualando a zero para extremo:
Multiplicando por
obtemos
Portanto o raio crítico do isolamento é
Interpretação física curta: se o isolamento for fino (raio final menor que
) a área de troca convectiva aumenta mais rapidamente do que a resistência de condução adicional, então a perda aumenta; se o isolamento for maior que
, a resistência de condução adicional domina e a perda diminui.
Passo 4
Cálculo do item (a) — raio crítico. Usando
e
:
Passo 5
Cálculo do item (b) — perda de calor por unidade de comprimento para o fio sem isolamento.
Sem isolamento, a superfície externa do fio é de raio e o fluxo é por convecção direta. A expressão simples é:
Sem isolamento, a superfície externa do fio é de raio
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 6
Cálculo do item (c) — espessura que maximiza a perda e taxa máxima.
Do passo 3 já sabemos que o raio externo que maximiza a perda é . A espessura do isolamento que maximiza a perda é:
Do passo 3 já sabemos que o raio externo que maximiza a perda é
Agora calculamos a taxa máxima de perda usando as resistências. Primeiro calcule
com
:
Em seguida
:
Resistência total:
Taxa de perda máxima:
Passo 7
Cálculo do item (d) — isolamento com espessura
.
Aqui a espessura é . Então o raio externo é
Aqui a espessura é
Calcule
:
Calcule
:
Resistência total:
Taxa de perda com
:
Comparação e interpretação final: sem isolamento
. Com
de isolamento
, ou seja, a perda aumentou. Isso acontece porque
é menor que o raio crítico
; ao adicionar isolamento até o raio crítico a área convectiva aumenta mais do que a resistência de condução adicionada, resultando em maior perda de calor. Apenas quando o isolamento excede o raio crítico a perda começará a diminuir.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Não — com
o isolamento aumentou a perda de calor (pois
).
(b)
(c)
(d)