Determine a pressão e a temperatura a que 1,0 \mathrm{~mol} de \mathrm{CO}_{2} \mathrm{e} estará em estados correspondentes ao de 1,0 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2} a 1,0 \mathrm{~atm} e 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: 1{,}0 mol de \mathrm{N}_2 à pressão 1{,}0\\ \text{atm} e temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Dado implícito: queremos achar a pressão e a temperatura a que 1{,}0 mol de \mathrm{CO}_2 estará em “estados correspondentes” ao do \mathrm{N}_2 acima.
  • Pedido: determinar a pressão e a temperatura do \mathrm{CO}_2 que correspondem às mesmas condições reduzidas (isto é, os mesmos números adimensionais de pressão reduzida e temperatura reduzida) do \mathrm{N}_2 dado.
  • Informação extra que usarei (tirada de tabelas de propriedades críticas): valores críticos aproximados
    • Para \mathrm{N}_2: T_{c,\mathrm{N_2}} = 126{,}2\\ \text{K} e P_{c,\mathrm{N_2}} = 33{,}5\\ \text{atm}.
    • Para \mathrm{CO}_2: T_{c,\mathrm{CO_2}} = 304{,}2\\ \text{K} e P_{c,\mathrm{CO_2}} = 73{,}8\\ \text{atm}.

Passo 2

O conceito e as fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • A ideia de “estados correspondentes” é usar as variáveis reduzidas: cada gás tem uma temperatura crítica T_c e uma pressão crítica P_c. Definimos: \text{temperatura reduzida: } \quad T_r=\frac{T}{T_c}
\text{pressão reduzida: } \quad P_r=\frac{P}{P_c}ã
onde T é a temperatura absoluta (em kelvin) e P a pressão (na mesma unidade de P_c).
  • Dois gases dizem-se em estados correspondentes quando têm os mesmos T_r e P_r.
  • Portanto, calculamos T_r e P_r do \mathrm{N}_2 dado e igualamos aos de \mathrm{CO}_2. A partir disso obtemos T e P para o \mathrm{CO}_2: T_{\mathrm{CO_2}} = T_{r,\mathrm{N_2}}\; T_{c,\mathrm{CO_2}}
P_{\mathrm{CO_2}} = P_{r,\mathrm{N_2}}\; P_{c,\mathrm{CO_2}}

Passo 3

Preparando os números: converter a temperatura dada para kelvin e anotar as críticas (repetindo que as tirei de tabelas padrão):
  • Temperatura do \mathrm{N}_2: 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \text{K}. Escrevo em TeX: T_{\mathrm{N_2}} = 298{,}15\\ \text{K}.
  • Valores críticos (da tabela): já anotados no Passo 1: T_{c,\mathrm{N_2}} = 126{,}2\\ \text{K},\quad P_{c,\mathrm{N_2}} = 33{,}5\\ \text{atm},
T_{c,\mathrm{CO_2}} = 304{,}2\\ \text{K},\quad P_{c,\mathrm{CO_2}} = 73{,}8\\ \text{atm}.

Passo 4

Calcular as variáveis reduzidas do \mathrm{N}_2:
  • Temperatura reduzida de \mathrm{N}_2: T_{r,\mathrm{N_2}}=\frac{T_{\mathrm{N_2}}}{T_{c,\mathrm{N_2}}}=\frac{298{,}15}{126{,}2}=2{,}363\\ (\text{aprox.}).Aqui eu dividi passo a passo: 298{,}15\div126{,}2\approx2{,}363.
  • Pressão reduzida de \mathrm{N}_2: P_{r,\mathrm{N_2}}=\frac{P_{\mathrm{N_2}}}{P_{c,\mathrm{N_2}}}=\frac{1{,}0}{33{,}5}=0{,}02985\\ (\text{aprox.}).Ou seja 1{,}0\div33{,}5\approx0{,}02985.

Passo 5

Agora imponho as mesmas reduzidas ao \mathrm{CO}_2 e calculo T e P do \mathrm{CO}_2:
  • Temperatura do \mathrm{CO}_2: T_{\mathrm{CO_2}} = T_{r,\mathrm{N_2}}\; T_{c,\mathrm{CO_2}} = 2{,}363\times304{,}2 = 718{,}9\\ \text{K} \\ (\text{aprox.}).Multiplicação mostrada: 2{,}363\cdot304{,}2\approx718{,}86.
  • Pressão do \mathrm{CO}_2: P_{\mathrm{CO_2}} = P_{r,\mathrm{N_2}}\; P_{c,\mathrm{CO_2}} = 0{,}02985\times73{,}8 = 2{,}20\\ \text{atm} \\ (\text{aprox.}).Multiplicação mostrada: 0{,}02985\cdot73{,}8\approx2{,}2016.

Passo 6

Converter a temperatura resultante para graus Celsius (por familiaridade) e arredondar com números significativos razoáveis:
  • T_{\mathrm{CO_2}} = 718{,}9\\ \text{K} = 718{,}9 - 273{,}15 = 445{,}7^\circ\mathrm{C}\approx 446^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando para três algarismos significativos: P_{\mathrm{CO_2}} \approx 2{,}20\\ \text{atm},\qquad T_{\mathrm{CO_2}} \approx 719\\ \text{K}\\ (\approx446^\circ\mathrm{C}).

Resposta

P_{\mathrm{CO_2}} = 2{,}20\\ \text{atm}
T_{\mathrm{CO_2}} = 719\\ \text{K} (aprox. 446^\circ\mathrm{C})

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