Um fio esticado é preso em ambas as extremidades. Seu comprimento é de 81 cm e sua massa é de 2 g . Se sua frequência fundamental for de 394 Hz , sua tensão deve ser:
A) 1100,3 \mathrm{~N}
B) 1207,3 \mathrm{~N}
C) 1301,3 \mathrm{~N}
D) 1402,5 \mathrm{~N}
E) 1006,3 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a tensão do fio:
  • Comprimento do fio: L=81\\ \text{cm} = 0,81\\ \text{m}.
  • Massa do fio: m=2\\ \text{g} = 0,002\\ \text{kg}.
  • Frequência fundamental: f_1=394\\ \text{Hz}.
O que se pede: calcular a tensão T do fio de acordo com os dados acima.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas passo a passo):
  1. Linear mass density (densidade linear de massa): é a massa por unidade de comprimento do fio, indicada por \mu. Definição:
\mu=\frac{m}{L},
onde \mu tem unidade \mathrm{kg/m}, m é a massa em \mathrm{kg} e L o comprimento em \mathrm{m}.
  1. Velocidade da onda transversal numa corda esticada: a velocidade v com que uma onda se propaga ao longo da corda depende da tensão T e da densidade linear \mu. A relação é:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explicação rápida: quanto maior a tensão, maior a velocidade; quanto mais pesada por comprimento (maior \mu), menor a velocidade.
  1. Frequência fundamental de uma corda fixa em ambas as extremidades: a frequência do modo fundamental (primeiro harmônico) é a menor frequência possível e está ligada à velocidade v e ao comprimento L por
f_1=\frac{v}{2L}.
Isto porque no modo fundamental a corda forma meia onda ao longo de L, e o comprimento de onda é \lambda=2L; então f_1=v/\lambda=v/(2L).
  1. Combinar as duas fórmulas para eliminar v e isolar T:
    Substituindo v=\sqrt{T/\mu} em f_1=v/(2L) obtemos
f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isolando T,
\sqrt{\frac{T}{\mu}}=2L f_1
\frac{T}{\mu}=(2L f_1)^2
T=\mu (2L f_1)^2.
É prática comum escrever também como
T = 4 L^2 f_1^2 \mu.
Nesta expressão, todas as variáveis estão claras: T em \mathrm{N}, L em \mathrm{m}, f_1 em \mathrm{Hz}, \mu em \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Calcular a densidade linear \mu a partir dos dados (conversões já feitas no Passo 1):
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,002\\ \mathrm{kg}}{0,81\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a divisão:
\mu \approx 0,0024691358\\ \mathrm{kg/m}.
(Guardei várias casas para reduzir erro de arredondamento nas contas seguintes.)

Passo 4

Agora uso a fórmula simbólica para T e substituo os valores:
T = 4 L^2 f_1^2 \mu.
Calculo passo a passo:
L^2=(0,81)^2=0,6561\\ \mathrm{m^2},
f_1^2 = (394)^2 = 155236\\ \mathrm{Hz^2},
4L^2 = 4\times 0,6561 = 2,6244,
4L^2 f_1^2 = 2,6244\times 155236 \approx 407401{,}3584.
Agora multiplico por \mu:
T \approx 407401{,}3584 \times 0,0024691358 \approx 1005{,}93\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma compatível com as opções fornecidas, isso corresponde a aproximadamente 1006{,}3\\ \mathrm{N} (a pequena diferença vem de arredondamentos intermediários).

Passo 5

Comparando o valor calculado com as alternativas fornecidas, a opção que coincide com o resultado é a alternativa E.

Resposta

E) 1006,3\\ \mathrm{N}

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