A buzina de um carro pode ser ouvida a uma distância de até 1 km . 1) Calcule o nível sonoro a 100 m. 2) Calcule o número de buzinas idênticas que teriam que ser colocadas juntas para que, a 100 m , o nível sonoro fosse de 60 dB .
A) 20 \mathrm{~dB}, 3
B) 10 \mathrm{~dB}, 6
C) 20 \mathrm{~dB}, 20000
D) 20 \mathrm{~dB}, 10000
E) 15 \mathrm{~dB}, 4

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: "A buzina de um carro pode ser ouvida a uma distância de até 1\\ \text{km}".
  • Pergunta 1: Calcular o nível sonoro a 100\\ \text{m}.
  • Pergunta 2: Quantas buzinas idênticas (colocadas juntas) seriam necessárias para que, a 100\\ \text{m}, o nível sonoro seja 60\\ \text{dB}.
Observação/assunção necessária (não foi dada explicitamente pelo enunciado): interpretar "pode ser ouvida a uma distância de até 1\\ \text{km}" como indicando que, a 1\\ \text{km}, o nível sonoro da buzina é aproximadamente o limiar de audição usado no problema. Vou adotar que o nível a 1\\ \text{km} é 0\\ \mathrm{dB} (valor de referência comum em exercícios deste tipo). Sem essa hipótese o problema não tem informação numérica suficiente.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Intensidade sonora I é a potência por unidade de área (em \mathrm{W/m^2}). Existe uma intensidade de referência I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Nível sonoro L em decibéis é definido por
L = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right),
onde L está em \mathrm{dB}. Aqui I é a intensidade no ponto onde se mede o som e I_0 é a intensidade de referência.
  • Para uma fonte pontual em espaço livre a intensidade decai com a distância ao quadrado:
I \propto \dfrac{1}{r^{2}},
onde r é a distância à fonte. Isso vem da conservação de potência irradiada pela fonte distribuída sobre a superfície de uma esfera de área 4\pi r^{2}.
  • A partir disso, a diferença de nível entre duas distâncias r_1 e r_2 é
L(r_2)-L(r_1)=10\log_{10}\!\left(\dfrac{I(r_2)}{I(r_1)}\right) =10\log_{10}\!\left(\dfrac{r_1^{2}}{r_2^{2}}\right) =20\log_{10}\!\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right).
Outra forma útil é
L(r_2)=L(r_1)-20\log_{10}\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right).

Passo 3

Calcular o nível a 100\\ \text{m} usando as fórmulas.
  • Vamos tomar r_1=1\\ \text{km}=1000\\ \text{m} e r_2=100\\ \text{m}. Pela assunção do Passo 1, L(r_1)=0\\ \mathrm{dB}.
  • Usando
L(100\\ \text{m})=L(1000\\ \text{m})+20\log_{10}\!\left(\dfrac{1000}{100}\right),
substituindo L(1000\\ \text{m})=0\\ \mathrm{dB},
L(100\\ \text{m})=0+20\log_{10}(10)=20\cdot 1=20\\ \mathrm{dB}.
Interpretação intuitiva: reduzir a distância em fator 10 aumenta o nível em 20\\ \mathrm{dB} (porque 20\log_{10}10=20).

Passo 4

Como somar várias buzinas idênticas (explicação didática) e calcular N.
  • Intensidades de fontes incoerentes somam: se cada buzina produz intensidade I_1 num ponto, N buzinas idênticas produzem intensidade total I_N = N I_1.
  • Em termos de níveis sonoros, o nível de N fontes idênticas é
L_N = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_N}{I_0}\right)=10\log_{10}\!\left(\dfrac{N I_1}{I_0}\right) =10\log_{10}N + 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) =10\log_{10}N + L_1,
onde L_1 é o nível de uma buzina só no ponto em questão.
  • Aqui L_1=L(100\\ \text{m})=20\\ \mathrm{dB} (do Passo 3). Queremos L_N=60\\ \mathrm{dB}. Logo
20 + 10\log_{10}N = 60.
  • Isolando \log_{10}N:
10\log_{10}N = 40 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}N = 4.
  • Assim
N = 10^{4} = 10000.
Comentário prático: aumentar o nível em 40\\ \mathrm{dB} requer multiplicar a intensidade por 10^{4}, portanto 10^{4} fontes idênticas.

Passo 5

Verificação rápida e exemplo auxiliar (didático).
  • Dobrar o número de fontes ( N\to 2N) adiciona 10\log_{10}2\approx 3{,}01\\ \mathrm{dB}. Logo para ganhar muitos dB é preciso multiplicar bastante o número de fontes; ganhar 40\\ \mathrm{dB} é um salto grande, coerente com 10000 fontes.

Resposta

20\\ \mathrm{dB}
10000

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