Duas ondas harmônicas de mesma frequência:
e amplitudes:
, propagamse a uma velocidade de
e na direção positiva do eixo OX. Na origem (
), para a primeira,
e
, e para a segunda,
e
. Deduza a equação da onda resultante da superposição entre as duas. (A amplitude da onda resultante esta dada em centímetros).
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Frequência:
. - Amplitudes:
. - Velocidade de propagação:
, na direção positiva de . - Condições em
: - Para a primeira onda:
e (a velocidade instantânea do ponto é negativa). - Para a segunda onda:
e .
- Para a primeira onda:
- O enunciado pede: deduzir a equação da onda resultante da superposição
. (A amplitude resultante deve ficar em centímetros.)
Passo 2
Modelo geral de uma onda harmônica viajante (mesma frequência e sentido):
onde:
-
é a amplitude (em cm); -
é o número de onda (rad/m); -
é a pulsação (rad/s); -
é a fase inicial da i-ésima onda (rad).
Explicação: escolhi a formaporque é a forma típica para uma onda que se propaga no sentido positivo de . A escolha por seno é conveniente e qualquer cosseno poderia ser reescrito como seno com fase.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
e
.
Portanto o argumento da onda será
.
Passo 4
Aplicar as condições em
para relacionar as fases
e
.
Para a primeira onda:
As soluções em
são
ou
.
Para decidir qual, usamos a informação sobre .
Para decidir qual, usamos a informação sobre
Passo 5
Encontrar o sinal da velocidade instantânea
em
e usar
para escolher
.
Cálculo da derivada temporal:
Em
:
Sabendo que
e que
, devemos ter
.
Entre e
, apenas
. Logo:
Entre
Passo 6
Fazer o mesmo para a segunda onda.
Condição inicial:
Soluções em
:
ou
.
Derivada temporal:
Como
, precisamos de
. Entre as duas candidatas,
e
. Logo:
Passo 7
Escrever explicitamente as duas ondas com as fases encontradas:
Passo 8
Somar as duas ondas e usar identidade trigonométrica para simplificar.
Soma:
onde
.
Fatorando 2 e aplicando a identidade
com
e
, obtemos:
Logo:
Passo 9
Interpretação final: a onda resultante tem amplitude máxima
(em cm), e fase
deslocando a seno de
. Comparando com as alternativas, isso coincide com a alternativa C.