Duas ondas harmônicas de mesma frequência: f=50 \mathrm{~Hz} e amplitudes: \mathrm{y}_{\mathrm{m} 1}=\mathrm{y}_{\mathrm{m} 2}=2 \mathrm{~cm}, propagamse a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e na direção positiva do eixo OX. Na origem ( x=0, t=0 ), para a primeira, y_{1}(0,0)=1 \mathrm{~cm} e v_{1}<0, e para a segunda, y_{2}(0,0)=\sqrt{3} \mathrm{~cm} e v_{2}<0. Deduza a equação da onda resultante da superposição entre as duas. (A amplitude da onda resultante esta dada em centímetros).
A) y(x, t)=4 \cdot \cos (\pi / 12) \cdot \operatorname{sen}(100 \pi x-100 \pi t+\pi / 2)
B) y(x, t)=4 \cdot \operatorname{sen}(\pi / 12) \cdot \cos (100 \pi x-100 \pi t+\pi / 4)
C) y(x, t)=4 \cdot \cos (\pi / 12) \cdot \operatorname{sen}(100 \pi x-100 \pi t+\pi / 4)
D) y(x, t)=4 \cdot \cos (\pi / 12) \cdot \operatorname{sen}(110 \pi x-100 \pi t+\pi / 4)
E) y(x, t)=4 \cdot \cos (\pi / 12) \cdot \operatorname{sen}(100 \pi x-110 \pi t+\pi / 4)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Frequência: \,f=50\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitudes: \,y_{m1}=y_{m2}=2\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade de propagação: \,v=1\\ \mathrm{m/s}, na direção positiva de x.
  • Condições em x=0,t=0:
    • Para a primeira onda: y_1(0,0)=1\\ \mathrm{cm} e v_1<0 (a velocidade instantânea do ponto é negativa).
    • Para a segunda onda: y_2(0,0)=\sqrt{3}\\ \mathrm{cm} e v_2<0.
  • O enunciado pede: deduzir a equação da onda resultante da superposição y(x,t)=y_1+y_2. (A amplitude resultante deve ficar em centímetros.)

Passo 2

Modelo geral de uma onda harmônica viajante (mesma frequência e sentido):
y_i(x,t)=y_{m i}\,\operatorname{sen}\!\big(kx-\omega t+\varphi_i\big),
onde:
  • \,y_{m i} é a amplitude (em cm);
  • \,k é o número de onda (rad/m);
  • \,\omega é a pulsação (rad/s);
  • \,\varphi_i é a fase inicial da i-ésima onda (rad).
    Explicação: escolhi a forma \operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi) porque é a forma típica para uma onda que se propaga no sentido positivo de x. A escolha por seno é conveniente e qualquer cosseno poderia ser reescrito como seno com fase.

Passo 3

Calcular \omega e k a partir de f e v.
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 50=100\pi\\ \text{rad/s}.
k=\frac{\omega}{v}=\frac{100\pi}{1}=100\pi\\ \text{rad/m}.
Portanto o argumento da onda será \theta(x,t)=100\pi x-100\pi t.

Passo 4

Aplicar as condições em x=0,t=0 para relacionar as fases \varphi_1 e \varphi_2.
Para a primeira onda:
y_1(0,0)=2\operatorname{sen}(\varphi_1)=1\\ \Rightarrow\\ \operatorname{sen}(\varphi_1)=\tfrac{1}{2}.
As soluções em [0,2\pi) são \varphi_1=\tfrac{\pi}{6} ou \varphi_1=\tfrac{5\pi}{6}.
Para decidir qual, usamos a informação sobre v_1.

Passo 5

Encontrar o sinal da velocidade instantânea v_1=\dfrac{\partial y_1}{\partial t} em x=0,t=0 e usar v_1<0 para escolher \varphi_1.
Cálculo da derivada temporal:
\frac{\partial y_1}{\partial t} = 2\cos(kx-\omega t+\varphi_1)\cdot(-\omega) = -2\omega\cos(kx-\omega t+\varphi_1).
Em x=0,t=0:
v_1(0,0)=-2\omega\cos(\varphi_1).
Sabendo que \omega>0 e que v_1(0,0)<0, devemos ter \cos(\varphi_1)>0.
Entre \varphi_1=\tfrac{\pi}{6} e \tfrac{5\pi}{6}, apenas \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0. Logo:
\varphi_1=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 6

Fazer o mesmo para a segunda onda.
Condição inicial:
y_2(0,0)=2\operatorname{sen}(\varphi_2)=\sqrt{3}\\ \Rightarrow\\ \operatorname{sen}(\varphi_2)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Soluções em [0,2\pi): \varphi_2=\tfrac{\pi}{3} ou \varphi_2=\tfrac{2\pi}{3}.
Derivada temporal:
v_2(0,0)=-2\omega\cos(\varphi_2).
Como v_2(0,0)<0, precisamos de \cos(\varphi_2)>0. Entre as duas candidatas, \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}>0 e \cos(\tfrac{2\pi}{3})<0. Logo:
\varphi_2=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 7

Escrever explicitamente as duas ondas com as fases encontradas:
y_1(x,t)=2\operatorname{sen}\!\big(100\pi x-100\pi t+\tfrac{\pi}{6}\big),
y_2(x,t)=2\operatorname{sen}\!\big(100\pi x-100\pi t+\tfrac{\pi}{3}\big).

Passo 8

Somar as duas ondas e usar identidade trigonométrica para simplificar.
Soma:
y(x,t)=y_1+y_2=2\operatorname{sen}\!\big(\theta+\tfrac{\pi}{6}\big)+2\operatorname{sen}\!\big(\theta+\tfrac{\pi}{3}\big),
onde \theta=100\pi x-100\pi t.
Fatorando 2 e aplicando a identidade
\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B=2\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big),
com A=\theta+\tfrac{\pi}{6} e B=\theta+\tfrac{\pi}{3}, obtemos:
y(x,t)=2\cdot 2\operatorname{sen}\!\Big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\Big)\cos\!\Big(\tfrac{\pi}{12}\Big).
Logo:
y(x,t)=4\cos\!\Big(\tfrac{\pi}{12}\Big)\,\operatorname{sen}\!\Big(100\pi x-100\pi t+\tfrac{\pi}{4}\Big).

Passo 9

Interpretação final: a onda resultante tem amplitude máxima 4\cos(\tfrac{\pi}{12}) (em cm), e fase \tfrac{\pi}{4} deslocando a seno de \theta. Comparando com as alternativas, isso coincide com a alternativa C.

Resposta

y(x,t)=4\cdot\cos\!\big(\tfrac{\pi}{12}\big)\cdot\operatorname{sen}\!\big(100\pi x-100\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big)

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