Um fío de massa \mathbf{5 0 0} \mathbf{g} e comprimento \mathbf{6 m} é tensionado horizontalmente com uma força de \mathbf{4 8} \mathbf{N}. Em seguida, o fio é perturbado com um deslocamento vertical de \mathbf{2 0 ~ c m} em relação à posição de repouso que se repete com de período \mathbf{0 , 5} \mathbf{~ s}, gerando assim a propagação de uma onda transversal.
a) Determine a amplitude ( A ), a frequência ( f ), a velocidade (v) e o comprimento de onda (\lambda) da onda que irá percorrer o fio.
b) Determine a função de onda y(x, t) desse fio em relação ao deslocamento vertical de um ponto Q qualquer.
c) Determine a máxima velocidade e máxima aceleração do ponto Q citado no item anterior.
d) Determine a potência média transferida a cada ponto do fio.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas (vou deixar tudo organizado para a gente não se perder):
Dados fornecidos:
  • massa do fio: 0,500\\ \mathrm{kg} (peguei isto do enunciado: \mathbf{5 0 0}\\ \mathbf{g})
  • comprimento do fio: 6\\ \mathrm{m} (peguei isto do enunciado: \mathbf{6\\ m})
  • tensão no fio: 48\\ \mathrm{N} (peguei isto do enunciado: \mathbf{4 8}\\ \mathbf{N})
  • deslocamento vertical que se repete com período 0,5\\ \mathrm{s} e amplitude 20\\ \mathrm{cm} (peguei isto do enunciado: \mathbf{2 0\\ cm} e \mathbf{0,5\\ s})
Perguntas:
a) Determine a amplitude A, a frequência f, a velocidade v e o comprimento de onda \lambda da onda que percorre o fio.
b) Determine a função de onda y(x,t) (deslocamento vertical de um ponto Q qualquer).
c) Determine a máxima velocidade e a máxima aceleração do ponto Q.
d) Determine a potência média transferida a cada ponto do fio.
Obs.: não há indicação explícita de fase inicial ou de direção preferida; quando necessário vou adotar a forma mais comum y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) e explico por quê no passo correspondente.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa do fio \mu. Explicando o que isso significa: \mu é a massa por unidade de comprimento do fio, ou seja, quanto de massa existe em cada metro do fio. A fórmula é
\mu=\frac{m}{L},
onde m é a massa total e L o comprimento total.
Aplicando os dados:
\mu=\frac{0,500\\ \mathrm{kg}}{6\\ \mathrm{m}}=\frac{1}{12}\\ \mathrm{kg\!/m}\approx 0,083333\\ \mathrm{kg\!/m}.

Passo 3

Amplitude A, período T, frequência f e pulsação \omega.
  • A amplitude é o máximo deslocamento vertical dado no enunciado: 20\\ \mathrm{cm}. Em metros (para usar no resto das fórmulas) temos
A=0,20\\ \mathrm{m}.
  • O período é dado: T=0,5\\ \mathrm{s}. A frequência é o inverso do período; isto é uma definição básica de frequência:
f=\frac{1}{T}.
Logo
f=\frac{1}{0,5\\ \mathrm{s}}=2\\ \mathrm{Hz}.
  • A pulsação (ou frequência angular) \omega é dada por \omega=2\pi f. Isso aparece sempre que descrevemos movimentos harmônicos com senos/cossenos; tem unidade \mathrm{rad/s}:
\omega=2\pi\cdot 2=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Pequeno resumo didático: amplitude A é “quão longe” do eixo em repouso o ponto chega; frequência f é “quantas oscilações por segundo”; \omega é a mesma ideia em radianos por segundo ( 2\pi rad = 1 ciclo).

Passo 4

Velocidade de propagação v de uma onda transversal em um fio tensionado. Conceito e fórmula: a velocidade de uma onda transversal em uma corda ideal depende da tensão \tau e da densidade linear \mu. A fórmula é
v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}},
onde \tau é a força de tensão (em N) e \mu a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). Intuição rápida: quanto maior a tensão, mais “rápida” a onda; quanto maior a massa por metro, mais lenta (mais inércia).
Aplicando:
v=\sqrt{\frac{48\\ \mathrm{N}}{1/12\\ \mathrm{kg/m}}}=\sqrt{48\cdot 12}=\sqrt{576}=24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Comprimento de onda \lambda. Relação básica entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v=\lambda f.
Logo
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{24\\ \mathrm{m/s}}{2\\ \mathrm{Hz}}=12\\ \mathrm{m}.
Comentário: \lambda saiu maior que o comprimento do fio ( 12\\ \mathrm{m} vs 6\\ \mathrm{m}); isso é possível — significa que um único comprimento de onda não cabe inteiro no fio. Para modos estacionários isso teria implicação, mas aqui só nos pedem propriedades da onda viajante.

Passo 6

Escolha da forma da função de onda e construção de y(x,t).
Teoria rápida: uma onda harmônica plana que se propaga sem deformação tem a forma geral
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde
  • A é a amplitude (m),
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}), dado por k=\dfrac{2\pi}{\lambda},
  • \omega é a pulsação (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (em rad) que fixa a posição no tempo t=0,
  • o sinal kx-\omega t corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo de x; trocar por kx+\omega t seria propagação no sentido negativo.
Calculemos k:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/m}.
Sobre \varphi: o enunciado não dá a fase inicial nem a posição referente ao instante t=0. A escolha mais comum (e simples) é tomar \varphi=0, ou seja, assumir que em t=0 a forma da onda é y(x,0)=A\sin(kx). Essa escolha não altera as magnitudes pedidas nas outras alíneas e é aceitável quando não se especifica fase. Se você tiver um instante inicial específico na prova, basta ajustar \varphi.
Portanto, adotando \varphi=0 e propagação em +x:
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t\bigr).
Substituindo os valores que já achamos:
y(x,t)=0,20\\ \sin\!\biggl(\frac{\pi}{6}x-4\pi t\biggr)\quad\text{(unidades: }y\text{ em m, }x\text{ em m, }t\text{ em s).}

Passo 7

Máxima velocidade e máxima aceleração de um ponto Q fixo do fio (fixo em x).
Se fixamos x=x_Q, o movimento vertical em função do tempo é harmônico simples:
y_Q(t)=A\sin(\omega t+\phi_Q),
onde \phi_Q é a fase resultante em x_Q (no nosso caso \phi_Q=kx_Q com escolha \varphi=0). As fórmulas gerais para velocidade e aceleração são:
v_y(t)=\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(\omega t+\phi_Q),
a_y(t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\omega^2\sin(\omega t+\phi_Q).
As máximas magnitudes (valores absolutos máximos) são:
v_{y,\max}=A\omega, \qquad a_{y,\max}=A\omega^2.
Substituindo A=0,20\\ \mathrm{m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}:
  • velocidade máxima
v_{y,\max}=0,20\cdot 4\pi=0,8\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 2,51\\ \mathrm{m/s}.
  • aceleração máxima
a_{y,\max}=0,20\cdot(4\pi)^2=0,20\cdot 16\pi^2=3,2\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 31,58\\ \mathrm{m/s^2}.
Dica prática para prova: quando pedirem máxima velocidade/ aceleração de um ponto, calcule A\omega e A\omega^2 — é muito rápido.

Passo 8

Potência média transferida pela onda. Vou derivar a expressão e depois calcular numericamente.
Conceito: a potência instantânea que a onda transmite através de uma seção do fio é o produto da força transversal sobre essa seção pelo velocidade vertical local. Para pequenas inclinações da corda, a componente transversal da força é aproximadamente \tau\,\partial y/\partial x, onde \tau é a tensão. Assim a potência instantânea em x é
P(x,t) = -\tau\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo a onda harmônica y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) e fazendo as derivações:
\frac{\partial y}{\partial x}=Ak\cos(kx-\omega t),\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Logo
P(x,t)=-\tau\,(Ak\cos\theta)\,(-A\omega\cos\theta)=\tau A^2 k\omega\cos^2\theta,
onde \theta=kx-\omega t. A potência média no tempo (sobre um ciclo) usa \langle\cos^2\theta\rangle=\tfrac{1}{2}, portanto
\overline{P}=\tau A^2 k\omega\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tau A^2 k\omega.
Usando a relação entre k,\omega e v: k=\dfrac{\omega}{v}, substituímos e obtemos
\overline{P}=\frac{1}{2}\tau A^2 \frac{\omega}{v}\omega=\frac{1}{2}\tau A^2\frac{\omega^2}{v}.
Podemos também reescrever usando v=\sqrt{\tau/\mu} para eliminar \tau e ficar em termos de \mu:
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu\omega^2 A^2 v.
Essa última forma é muito usada porque envolve apenas \mu,\omega,A,v.
Agora aplicamos os números. É mais simples usar a forma
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu\omega^2 A^2 v.
Substituindo \mu=\tfrac{1}{12}\\ \mathrm{kg/m}, \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}, A=0,20\\ \mathrm{m}, v=24\\ \mathrm{m/s}:
Uma simplificação exata:
\overline{P}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}\cdot(4\pi)^2\cdot(0,20)^2\cdot 24.
Calcule passo a passo simbólico:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}\cdot 16\pi^2 \cdot 0,04 \cdot 24 = \Bigl(\frac{16}{24}\Bigr)\pi^2\cdot 0,04\cdot 24 \cdot \frac{1}{2\cdot 12}\\ \text{(mas já simplificamos abaixo)}.á
Fazendo as contas diretas (ou reconhecendo a simplificação feita anteriormente):
\overline{P}=0,64\pi^2\\ \mathrm{W}\approx 6,32\\ \mathrm{W}.
Interpretação: em média a onda transmite cerca de 6,3\\ \mathrm{W} ao longo do fio (cada seção, no regime permanente).

Resposta

a) A=0,20\\ \mathrm{m};\quad f=2\\ \mathrm{Hz};\quad v=24\\ \mathrm{m/s};\quad \lambda=12\\ \mathrm{m}.
b) y(x,t)=0,20\\ \sin\!\biggl(\dfrac{\pi}{6}x-4\pi t\biggr)\\ \mathrm{m}.
c) v_{y,\max}=0,8\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 2,51\\ \mathrm{m/s};\quad a_{y,\max}=3,2\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 31,58\\ \mathrm{m/s^2}.
d) \overline{P}=0,64\pi^2\\ \mathrm{W}\approx 6,32\\ \mathrm{W}.

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