Um fío de massa \mathbf{5 0 0} \mathbf{g} e comprimento \mathbf{6 m} é tensionado horizontalmente com uma força de \mathbf{4 8} \mathbf{N}. Em seguida, o fio é perturbado com um deslocamento vertical de \mathbf{2 0 ~ c m} em relação à posição de repouso que se repete com de período \mathbf{0 , 5} \mathbf{~ s}, gerando assim a propagação de uma onda transversal.
a) Determine a amplitude ( A ), a frequência ( f ), a velocidade (v) e o comprimento de onda (\lambda) da onda que irá percorrer o fio.
b) Determine a função de onda y(x, t) desse fio em relação ao deslocamento vertical de um ponto Q qualquer.
c) Determine a máxima velocidade e máxima aceleração do ponto Q citado no item anterior.
d) Determine a potência média transferida a cada ponto do fio.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas (vou deixar tudo organizado para a gente não se perder):
Dados fornecidos:
massa do fio: 0,500\\ \mathrm{kg} (peguei isto do enunciado: \mathbf{5 0 0}\\ \mathbf{g})
comprimento do fio: 6\\ \mathrm{m} (peguei isto do enunciado: \mathbf{6\\ m})
tensão no fio: 48\\ \mathrm{N} (peguei isto do enunciado: \mathbf{4 8}\\ \mathbf{N})
deslocamento vertical que se repete com período 0,5\\ \mathrm{s} e amplitude 20\\ \mathrm{cm} (peguei isto do enunciado: \mathbf{2 0\\ cm} e \mathbf{0,5\\ s})
Perguntas:
a) Determine a amplitude A, a frequência f, a velocidade v e o comprimento de onda \lambda da onda que percorre o fio.
b) Determine a função de onda y(x,t) (deslocamento vertical de um ponto Q qualquer).
c) Determine a máxima velocidade e a máxima aceleração do ponto Q.
d) Determine a potência média transferida a cada ponto do fio.
Obs.: não há indicação explícita de fase inicial ou de direção preferida; quando necessário vou adotar a forma mais comum y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) e explico por quê no passo correspondente.
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa do fio \mu. Explicando o que isso significa: \mu é a massa por unidade de comprimento do fio, ou seja, quanto de massa existe em cada metro do fio. A fórmula é
Amplitude A, período T, frequência f e pulsação \omega.
A amplitude é o máximo deslocamento vertical dado no enunciado: 20\\ \mathrm{cm}. Em metros (para usar no resto das fórmulas) temos
A=0,20\\ \mathrm{m}.
O período é dado: T=0,5\\ \mathrm{s}. A frequência é o inverso do período; isto é uma definição básica de frequência:
f=\frac{1}{T}.
Logo
f=\frac{1}{0,5\\ \mathrm{s}}=2\\ \mathrm{Hz}.
A pulsação (ou frequência angular) \omega é dada por \omega=2\pi f. Isso aparece sempre que descrevemos movimentos harmônicos com senos/cossenos; tem unidade \mathrm{rad/s}:
\omega=2\pi\cdot 2=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Pequeno resumo didático: amplitude A é “quão longe” do eixo em repouso o ponto chega; frequência f é “quantas oscilações por segundo”; \omega é a mesma ideia em radianos por segundo (2\pi rad = 1 ciclo).
Passo 4
Velocidade de propagação v de uma onda transversal em um fio tensionado. Conceito e fórmula: a velocidade de uma onda transversal em uma corda ideal depende da tensão \tau e da densidade linear \mu. A fórmula é
v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}},
onde \tau é a força de tensão (em N) e \mu a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). Intuição rápida: quanto maior a tensão, mais “rápida” a onda; quanto maior a massa por metro, mais lenta (mais inércia).
Comentário: \lambda saiu maior que o comprimento do fio (12\\ \mathrm{m} vs 6\\ \mathrm{m}); isso é possível — significa que um único comprimento de onda não cabe inteiro no fio. Para modos estacionários isso teria implicação, mas aqui só nos pedem propriedades da onda viajante.
Passo 6
Escolha da forma da função de onda e construção de y(x,t).
Teoria rápida: uma onda harmônica plana que se propaga sem deformação tem a forma geral
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde
A é a amplitude (m),
k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}), dado por k=\dfrac{2\pi}{\lambda},
\omega é a pulsação (em \mathrm{rad/s}),
\varphi é a fase inicial (em rad) que fixa a posição no tempo t=0,
o sinal kx-\omega t corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo de x; trocar por kx+\omega t seria propagação no sentido negativo.
Sobre \varphi: o enunciado não dá a fase inicial nem a posição referente ao instante t=0. A escolha mais comum (e simples) é tomar \varphi=0, ou seja, assumir que em t=0 a forma da onda é y(x,0)=A\sin(kx). Essa escolha não altera as magnitudes pedidas nas outras alíneas e é aceitável quando não se especifica fase. Se você tiver um instante inicial específico na prova, basta ajustar \varphi.
Portanto, adotando \varphi=0 e propagação em +x:
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t\bigr).
Substituindo os valores que já achamos:
y(x,t)=0,20\\ \sin\!\biggl(\frac{\pi}{6}x-4\pi t\biggr)\quad\text{(unidades: }y\text{ em m, }x\text{ em m, }t\text{ em s).}
Passo 7
Máxima velocidade e máxima aceleração de um ponto Q fixo do fio (fixo em x).
Se fixamos x=x_Q, o movimento vertical em função do tempo é harmônico simples:
y_Q(t)=A\sin(\omega t+\phi_Q),
onde \phi_Q é a fase resultante em x_Q (no nosso caso \phi_Q=kx_Q com escolha \varphi=0). As fórmulas gerais para velocidade e aceleração são:
Dica prática para prova: quando pedirem máxima velocidade/ aceleração de um ponto, calcule A\omega e A\omega^2 — é muito rápido.
Passo 8
Potência média transferida pela onda. Vou derivar a expressão e depois calcular numericamente.
Conceito: a potência instantânea que a onda transmite através de uma seção do fio é o produto da força transversal sobre essa seção pelo velocidade vertical local. Para pequenas inclinações da corda, a componente transversal da força é aproximadamente \tau\,\partial y/\partial x, onde \tau é a tensão. Assim a potência instantânea em x é