Um fio de massa m , dobrado na forma de uma letra
de largura
, tem seus extremos mergulhados em dois vasos contendo mercúrio. O fio está submetido à ação de um campo magnético uniforme
. Se um impulso de corrente, que transporta uma carga
, percorre o fio, este salta bruscamente para cima. Calcule a altura máxima,
, atingida pelo fio, o valor da carga total,
, supondo que o tempo de duração da corrente é muito menor do que o tempo que leva o fio para subir e descer.
Passo 1
O enunciado dá um fio de massa
, dobrado em forma de
com largura
, cujos extremos estão mergulhados em dois vasos de mercúrio. O fio recebe um pulso de corrente muito curto que transporta uma carga total
Há um campo magnético uniforme
. Após o pulso o fio “salta” para cima; devemos calcular a altura máxima
atingida pelo fio e escrever a expressão para a carga total
(ou seja, expressões relacionando
e
).\n
Informações relevantes e hipóteses que farei (típicas para este problema, e compatíveis com o enunciado):
Informações relevantes e hipóteses que farei (típicas para este problema, e compatíveis com o enunciado):
logo durante o pulso a forma do fio e a posição são praticamente fixas;\n
de modo que o efeitos magnéticos resultam em um impulso vertical;\n
O que devemos achar:
expresso em termos de
e também a expressão inversa
em função de
.
Passo 2
Lembra da força magnética sobre um elemento de fio que transporta corrente? Para um elemento infinitesimal de comprimento
com corrente instantânea
temos a força infinitesimal
A força total instantânea sobre o fio é a integral ao longo do fio:
Como
é constante no espaço e a geometria do fio não muda durante o pulso (hipótese do pulso muito curto), podemos calcular o impulso magnético total (integral de
no tempo) trocando as integrais:
Pelo enunciado
. Como
é constante:
Os pontos de contato com o mercúrio são os dois extremos do
e a separação entre esses extremos é um vetor horizontal de módulo
. Tomando
perpendicular ao plano do
, o produto vetorial dá um impulso vertical cuja magnitude é
(Esta é uma forma compacta e física: o impulso magnético recebido pelo fio é proporcional à carga impulsionada pelo campo e ao deslocamento vetorial entre os pontos de aplicação da corrente.)
Passo 3
O impulso
é a variação do momento linear do fio. Tomando a direção positiva para cima e supondo que o fio estava inicialmente em repouso, o impulso fornece ao fio uma velocidade inicial
tal que
Assim:
Passo 4
Agora uso conservação de energia mecânica (após o pulso não há mais força magnética relevante): a energia cinética inicial do fio é transformada em energia potencial gravitacional quando o fio alcança a altura máxima
. Escrevo
Substituo
da etapa anterior:
Faço as simplificações passo a passo: o quadrado dá
e multiplicando por
obtém-se
. Então
Passo 5
Isolo
. Dividindo ambos os lados por
vem
Essa é a expressão da altura máxima atingida pelo fio em função da carga total impulsionada
e dos parâmetros do problema.
Passo 6
Agora expresso a carga
em função da altura desejada
. A partir da equação anterior:
logo tomando raiz positiva (a carga impulsionadora tem sinal que determina direção, aqui usamos módulo)
Esta é a carga total necessária para fazer o fio atingir a altura
nas condições assumidas.