Um fio de massa m , dobrado na forma de uma letra U de largura L, tem seus extremos mergulhados em dois vasos contendo mercúrio. O fio está submetido à ação de um campo magnético uniforme \vec{B}. Se um impulso de corrente, que transporta uma carga q=\int i d t, percorre o fio, este salta bruscamente para cima. Calcule a altura máxima, h, atingida pelo fio, o valor da carga total, q, supondo que o tempo de duração da corrente é muito menor do que o tempo que leva o fio para subir e descer.

Passo 1

O enunciado dá um fio de massa \,m\,, dobrado em forma de U com largura \,L\,, cujos extremos estão mergulhados em dois vasos de mercúrio. O fio recebe um pulso de corrente muito curto que transporta uma carga total
q=\int i\,dt.
Há um campo magnético uniforme \vec{B}. Após o pulso o fio “salta” para cima; devemos calcular a altura máxima \,h\, atingida pelo fio e escrever a expressão para a carga total \,q\, (ou seja, expressões relacionando \,h e \,q).\n
Informações relevantes e hipóteses que farei (típicas para este problema, e compatíveis com o enunciado):
\text{(i)}\quad\text{o pulso de corrente tem duração muito menor que o tempo de subida/descida do fio,}çã
logo durante o pulso a forma do fio e a posição são praticamente fixas;\n
\text{(ii)}\quad\vec{B}\\ \text{é uniforme e perpendicular ao plano do }U\\ \text{(orientação que produz impulso vertical),}éçã
de modo que o efeitos magnéticos resultam em um impulso vertical;\n
\text{(iii)}\quad\text{desprezamos perdas por resistência do ar, atrito com mercúrio, aquecimento, etc.}êú
O que devemos achar: \,h expresso em termos de m,L,B,q,g e também a expressão inversa \,q em função de m,L,B,g,h.

Passo 2

Lembra da força magnética sobre um elemento de fio que transporta corrente? Para um elemento infinitesimal de comprimento \,d\vec{\ell} com corrente instantânea i(t) temos a força infinitesimal
d\vec{F}(t)=i(t)\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
A força total instantânea sobre o fio é a integral ao longo do fio:
\vec{F}(t)=i(t)\int_{\text{fio}} d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Como \vec{B} é constante no espaço e a geometria do fio não muda durante o pulso (hipótese do pulso muito curto), podemos calcular o impulso magnético total (integral de \vec{F} no tempo) trocando as integrais:
\vec{J}=\int \vec{F}(t)\,dt=\int\left[ i(t)\int d\vec{\ell}\times\vec{B}\right]dt =\left(\int i(t)\,dt\right)\left(\int d\vec{\ell}\times\vec{B}\right).
Pelo enunciado \int i(t)\,dt=q. Como \vec{B} é constante:
\int d\vec{\ell}\times\vec{B}=\left(\int d\vec{\ell}\right)\times\vec{B}=(\vec{r}_{\text{fim}}-\vec{r}_{\text{início}})\times\vec{B}.í
Os pontos de contato com o mercúrio são os dois extremos do U e a separação entre esses extremos é um vetor horizontal de módulo \,L. Tomando \vec{B} perpendicular ao plano do U, o produto vetorial dá um impulso vertical cuja magnitude é
J = q\,L\,B.
(Esta é uma forma compacta e física: o impulso magnético recebido pelo fio é proporcional à carga impulsionada pelo campo e ao deslocamento vetorial entre os pontos de aplicação da corrente.)

Passo 3

O impulso \vec{J} é a variação do momento linear do fio. Tomando a direção positiva para cima e supondo que o fio estava inicialmente em repouso, o impulso fornece ao fio uma velocidade inicial \,v_0 tal que
m v_0 = J = q L B.
Assim:
v_0=\dfrac{q L B}{m}.

Passo 4

Agora uso conservação de energia mecânica (após o pulso não há mais força magnética relevante): a energia cinética inicial do fio é transformada em energia potencial gravitacional quando o fio alcança a altura máxima \,h. Escrevo
\frac{1}{2}m v_0^2 = m g h.
Substituo v_0 da etapa anterior:
\frac{1}{2}m\left(\frac{q L B}{m}\right)^{2}=m g h.
Faço as simplificações passo a passo: o quadrado dá \dfrac{q^{2}L^{2}B^{2}}{m^{2}} e multiplicando por \tfrac{1}{2}m obtém-se \dfrac{q^{2}L^{2}B^{2}}{2m}. Então
m g h=\frac{q^{2}L^{2}B^{2}}{2m}.

Passo 5

Isolo \,h. Dividindo ambos os lados por m g vem
h=\frac{q^{2}L^{2}B^{2}}{2m^{2}g}.
Essa é a expressão da altura máxima atingida pelo fio em função da carga total impulsionada q e dos parâmetros do problema.

Passo 6

Agora expresso a carga q em função da altura desejada h. A partir da equação anterior:
q^{2}=\frac{2m^{2}g h}{L^{2}B^{2}},
logo tomando raiz positiva (a carga impulsionadora tem sinal que determina direção, aqui usamos módulo)
q=\frac{m\sqrt{2 g h}}{L B}.
Esta é a carga total necessária para fazer o fio atingir a altura \,h nas condições assumidas.

Resposta

h=\frac{q^{2}L^{2}B^{2}}{2m^{2}g}
q=\frac{m\sqrt{2 g h}}{L B}

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