-4 Um fio com uma resistência de
é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a resistência final do fio:
- Resistência inicial:
. - O fio é “trefilado” de modo que o comprimento final passa a ser três vezes o comprimento inicial:
. - A resistividade do material permanece a mesma (constante).
- A massa específica (densidade) do material permanece a mesma, e portanto a massa do fio não muda.
- Pergunta: qual é a resistência do fio após a operação? (ou seja, encontrar
).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica que relaciona resistência elétrica com geometria e propriedade do material:
onde:
-
é a resistividade do material (característica do material; unidades ), -
é o comprimento do fio, -
é a área da secção transversal do fio, -
é a resistência elétrica.
Explicação didática: quanto maior o comprimento
, maior a resistência (porque os elétrons percorrem mais caminho), e quanto maior a área
, menor a resistência (mais “faixa” para os elétrons passarem). A resistividade
resume como o material se opõe ao fluxo elétrico.
Passo 3
Como a massa específica (densidade) e a massa total do fio permanecem as mesmas, o volume do fio também permanece constante durante o trefilamento. O volume de um fio cilíndrico é
. Portanto:
onde os índices
e
indicam estados inicial e final.
Passo 4
Usando
na relação de volumes, encontramos a área final
:
Interpretação: ao triplicar o comprimento mantendo o volume, a área da seção transversal fica reduzida a um terço da área inicial.
Passo 5
Agora usamos a fórmula da resistência para comparar
com
. Escrevendo cada resistência:
Substituímos
e
em
:
Mas
. Logo:
Explicação didática: o comprimento aumentou por fator 3 (aumenta resistência por 3) e a área diminuiu por fator 3 (aumenta resistência por mais 3), combinando para um aumento total por
.
Passo 6
Finalmente, substituímos o valor numérico de
: