-4 Um fio com uma resistência de 6,0 \Omega é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a resistência final do fio:
  • Resistência inicial: R_0 = 6,0\\ \Omega.
  • O fio é “trefilado” de modo que o comprimento final passa a ser três vezes o comprimento inicial: L_1 = 3L_0.
  • A resistividade do material permanece a mesma (constante).
  • A massa específica (densidade) do material permanece a mesma, e portanto a massa do fio não muda.
  • Pergunta: qual é a resistência do fio após a operação? (ou seja, encontrar R_1).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica que relaciona resistência elétrica com geometria e propriedade do material:
R = \rho \frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (característica do material; unidades \Omega\cdot\text{m}),
  • L é o comprimento do fio,
  • A é a área da secção transversal do fio,
  • R é a resistência elétrica.
Explicação didática: quanto maior o comprimento L, maior a resistência (porque os elétrons percorrem mais caminho), e quanto maior a área A, menor a resistência (mais “faixa” para os elétrons passarem). A resistividade \rho resume como o material se opõe ao fluxo elétrico.

Passo 3

Como a massa específica (densidade) e a massa total do fio permanecem as mesmas, o volume do fio também permanece constante durante o trefilamento. O volume de um fio cilíndrico é V = A L. Portanto:
A_0 L_0 = A_1 L_1,
onde os índices 0 e 1 indicam estados inicial e final.

Passo 4

Usando L_1 = 3L_0 na relação de volumes, encontramos a área final A_1:
A_1 = A_0\frac{L_0}{L_1} = A_0\frac{L_0}{3L_0} = \frac{A_0}{3}.
Interpretação: ao triplicar o comprimento mantendo o volume, a área da seção transversal fica reduzida a um terço da área inicial.

Passo 5

Agora usamos a fórmula da resistência para comparar R_1 com R_0. Escrevendo cada resistência:
R_0 = \rho \frac{L_0}{A_0}, \qquad R_1 = \rho \frac{L_1}{A_1}.
Substituímos L_1 = 3L_0 e A_1 = A_0/3 em R_1:
R_1 = \rho \frac{3L_0}{A_0/3} = \rho \frac{3L_0}{1}\cdot\frac{3}{A_0} = \rho \frac{9L_0}{A_0}.
Mas \rho \dfrac{L_0}{A_0} = R_0. Logo:
R_1 = 9 R_0.
Explicação didática: o comprimento aumentou por fator 3 (aumenta resistência por 3) e a área diminuiu por fator 3 (aumenta resistência por mais 3), combinando para um aumento total por 3\times3=9.

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor numérico de R_0:
R_1 = 9\cdot R_0 = 9\cdot 6,0\\ \Omega = 54\\ \Omega.

Resposta

54\\ \Omega

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