Q3. (10 pontos) Considere um feixe de elétrons com energia cinética muito bem definida e com valor aproximado de 8,0 \times 10^{-19} \mathrm{~J}. O feixe está direcionado perpendicularmente a uma grade de difração que atua efetivamente como uma fenda de largura a=0,2 \mathrm{~nm}. Após atravessar a fenda e percorrerem alguns metros, os elétrons são registrados em um anteparo. Dados: massa do elétron m_{e} \approx 9,0 \times 10^{-31} \mathrm{kg} ; \hbar \approx 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s} ; \sin \theta=n \lambda / a.
a)(3 pontos) Determine o momento e o comprimento de onda de Broglie dos elétrons.
b)(3 pontos) Dado o resultado obtido no item a), e o tamanho da fenda, se seria possível observar a difração dos elétrons nesse experimento? Justifique sua resposta.
c)(4 pontos) Considerando que a fenda atua como uma medida de localização do elétron, perpendicularmente ao feixe, qual a menor incerteza na componente perpendicular do momento de um elétron após a passagem pela fenda? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um feixe de elétrons com energia cinética muito bem definida e pede três coisas. Lista dos dados e perguntas do enunciado:
  • Dados (peguei diretamente do enunciado):
    • Energia cinética do elétron: E = 8,0 \times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
    • Largura efetiva da fenda: a = 0,2\\ \mathrm{nm} = 0,2 \times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 2,0 \times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
    • Massa do elétron: m_{e} \approx 9,0 \times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Constante reduzida de Planck: \hbar \approx 1,0 \times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • Fórmula fornecida no enunciado (modo de achar direções de difração): \sin\theta = n\,\lambda / a.
  • Perguntas:
    a) Determinar o momento p e o comprimento de onda de Broglie \lambda dos elétrons.
    b) Com o resultado de (a) e sabendo a largura a, dizer se é possível observar difração neste experimento e justificar.
    c) Se a fenda atua como uma medida de localização perpendicular ao feixe, qual a menor incerteza na componente perpendicular do momento do elétron após passar pela fenda? Justificar.

Passo 2

Plano para começar (só explicito o que vou calcular passo a passo, sem resolver ainda): para (a) vou usar a relação entre energia cinética e momento para partícula não relativística, E = p^2/(2m), e a relação de de Broglie \lambda = h/p com h = 2\pi\hbar. Vou checar que a aproximação não relativística é válida comparando E com m_e c^2. Para (b) vou comparar \lambda com a largura a e usar a condição de difração. Para (c) vou aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg na forma \Delta x\,\Delta p_x \ge \hbar/2 com \Delta x dada pela restrição espacial imposta pela fenda.

Passo 3

Aula rápida: relação entre energia cinética e momento (não-relativístico).
  • Fórmula: E = \frac{p^{2}}{2m}, onde:
    • E é a energia cinética (em joules),
    • p é o módulo do momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}),
    • m é a massa da partícula (em kg).
  • Rearranjando para p: p = \sqrt{2mE}.
Explicação intuitiva: para velocidades muito menores que a da luz a energia cinética é mv^2/2 e p=mv, daí a relação acima. Antes de usar essa fórmula vamos confirmar que a aproximação não relativística é segura.

Passo 4

Verificação não-relativística (rápida checagem): energia de repouso do elétron é m_e c^2.
  • Calculemos aproximadamente (apenas para comparar ordens): m_e c^2 \sim 9,0\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times (3,0\times 10^8\\ \mathrm{m/s})^2 \approx 8,1\times 10^{-14}\\ \mathrm{J}.
  • Comparando com E = 8,0\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}, temos E muito menor que m_e c^2 (diferença de cerca de 10^5 vezes ou mais). Logo podemos usar a expressão não-relativística p=\sqrt{2mE} com segurança.

Passo 5

Cálculo do momento p. Usando \;p=\sqrt{2m_e E}\;:
2m_e E =2\cdot\bigl(9,0\times 10^{-31}\bigr)\cdot\bigl(8,0\times 10^{-19}\bigr).
Faço a multiplicação de mantissas e potência de 10 separadamente:
2\cdot 9,0\cdot 8,0 = 144,\qquad 10^{-31}\cdot 10^{-19}=10^{-50}.
Logo
2m_e E = 144\times 10^{-50} = 1,44\times 10^{-48}.
Agora a raiz quadrada:
p = \sqrt{1,44\times 10^{-48}} = 1,2\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Comentário: esse é o módulo do momento linear do elétron antes de qualquer espalhamento.

Passo 6

Aula rápida: comprimento de onda de Broglie.
  • Relação de de Broglie: \lambda = \frac{h}{p}, onde:
    • h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}),
    • p é o momento linear.
  • Como foi dado \hbar, usamos h = 2\pi\hbar. Com \hbar \approx 1,0\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
h \approx 2\pi\cdot 1,0\times 10^{-34} \approx 6,28\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 7

Cálculo numérico do comprimento de onda \lambda:
\lambda = \frac{h}{p} \approx \frac{6,28\times 10^{-34}}{1,2\times 10^{-24}}.
Dividindo mantissas e potências:
\frac{6,28}{1,2}\approx 5,23,\qquad 10^{-34}/10^{-24}=10^{-10}.
Logo
\lambda \approx 5,23\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0,523\\ \mathrm{nm}.
Interpretação: o comprimento de onda de Broglie do elétron é da ordem de 0,5\\ \mathrm{nm}.

Passo 8

Resposta à pergunta (b): quando a difração é observável? Regra prática e aplicação:
  • Regra prática: para observar difração e espalhamento significativo, o comprimento de onda \lambda deve ser da ordem de grandeza da abertura a ou maior. Se \lambda \lesssim a a difração existe, mas é menos pronunciada; se \lambda é comparável a a ou maior, a difração é forte e o feixe se espalha bastante.
  • Aqui temos, dos resultados anteriores, \lambda \approx 0,523\\ \mathrm{nm} e a = 0,2\\ \mathrm{nm}. Assim \lambda > a (aproximadamente \lambda/a \approx 2,6).
  • Interpretando a fórmula fornecida \sin\theta = n\lambda / a (usada para posições de máximos/ordens): para n=1, \sin\theta = \lambda/a \approx 2,6>1, o que significa que a condição para um primeiro máximo/minimo em ângulo finito não é satisfeita — fisicamente isso indica que o padrão central se espalha por ângulos muito grandes (ou seja, o espalhamento é muito amplo). Em resumo: a difração será claramente observável e muito pronunciada (o feixe não ficará apenas quase reto).

Passo 9

Aula rápida: princípio da incerteza de Heisenberg e aplicação à fenda.
  • Princípio da incerteza (forma usual): \Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, onde:
    • \Delta x é a incerteza na posição na direção perpendicular (a direção em que a fenda localiza o elétron),
    • \Delta p_x é a incerteza na componente do momento nessa direção.
  • Interpretação física: ao localizar a partícula num intervalo de largura \Delta x, aumentamos a incerteza na componente do momento perpendicular; isto causa espalhamento angular (difração).

Passo 10

Aplicação numérica do princípio da incerteza.
  • Tomamos \Delta x \approx a = 2,0\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} (a fenda restringe a posição perp. ao feixe a esse intervalo).
  • Assim a menor incerteza possível em p_x é
\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1,0\times 10^{-34}}{2\cdot 2,0\times 10^{-10}}.
Calculemos:
2\Delta x = 4,0\times 10^{-10},\qquad \Delta p_x \ge \frac{1,0\times 10^{-34}}{4,0\times 10^{-10}} = 0,25\times 10^{-24}.
Portanto
\Delta p_x \ge 2,5\times 10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 11

Interpretação do valor de \Delta p_x em relação ao momento inicial e ao espalhamento angular:
  • Momento inicial calculado no Passo 5: p \approx 1,2\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Razão \Delta p_x/p \approx \dfrac{2,5\times 10^{-25}}{1,2\times 10^{-24}} \approx 0,21. Ou seja, a incerteza perpendicular é cerca de 21\% do momento total — isso significa um espalhamento angular apreciável.
  • Estimativa do ângulo típico: para pequenas inclinações \theta, \sin\theta \approx \theta \approx \Delta p_x / p. Assim \theta \approx 0,21 rad \approx 12^\circ. Isso concorda qualitativamente com a ideia de forte difração encontrada no item (b).

Resposta

(a) p \approx 1,2\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s};\quad \lambda \approx 5,23\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0,523\\ \mathrm{nm}.
(b) Sim — porque \lambda \approx 0,523\\ \mathrm{nm} é maior que a=0,2\\ \mathrm{nm}, ou seja \lambda/a\approx 2,6, então haverá difração forte (o padrão central se espalha por ângulos grandes).
(c) \Delta p_x \gtrsim \dfrac{\hbar}{2a} \approx 2,5\times 10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

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