Q3. (10 pontos) Considere um feixe de elétrons com energia cinética muito bem definida e com valor aproximado de
. O feixe está direcionado perpendicularmente a uma grade de difração que atua efetivamente como uma fenda de largura
. Após atravessar a fenda e percorrerem alguns metros, os elétrons são registrados em um anteparo. Dados: massa do elétron
.
a)(3 pontos) Determine o momento e o comprimento de onda de Broglie dos elétrons.
b)(3 pontos) Dado o resultado obtido no item a), e o tamanho da fenda, se seria possível observar a difração dos elétrons nesse experimento? Justifique sua resposta.
c)(4 pontos) Considerando que a fenda atua como uma medida de localização do elétron, perpendicularmente ao feixe, qual a menor incerteza na componente perpendicular do momento de um elétron após a passagem pela fenda? Justifique sua resposta.
a)(3 pontos) Determine o momento e o comprimento de onda de Broglie dos elétrons.
b)(3 pontos) Dado o resultado obtido no item a), e o tamanho da fenda, se seria possível observar a difração dos elétrons nesse experimento? Justifique sua resposta.
c)(4 pontos) Considerando que a fenda atua como uma medida de localização do elétron, perpendicularmente ao feixe, qual a menor incerteza na componente perpendicular do momento de um elétron após a passagem pela fenda? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um feixe de elétrons com energia cinética muito bem definida e pede três coisas. Lista dos dados e perguntas do enunciado:
- Dados (peguei diretamente do enunciado):
- Energia cinética do elétron:
. - Largura efetiva da fenda:
. - Massa do elétron:
. - Constante reduzida de Planck:
. - Fórmula fornecida no enunciado (modo de achar direções de difração):
.
- Energia cinética do elétron:
- Perguntas:
a) Determinar o momentoe o comprimento de onda de Broglie dos elétrons.
b) Com o resultado de (a) e sabendo a largura, dizer se é possível observar difração neste experimento e justificar.
c) Se a fenda atua como uma medida de localização perpendicular ao feixe, qual a menor incerteza na componente perpendicular do momento do elétron após passar pela fenda? Justificar.
Passo 2
Plano para começar (só explicito o que vou calcular passo a passo, sem resolver ainda): para (a) vou usar a relação entre energia cinética e momento para partícula não relativística,
, e a relação de de Broglie
com
. Vou checar que a aproximação não relativística é válida comparando
com
. Para (b) vou comparar
com a largura
e usar a condição de difração. Para (c) vou aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg na forma
com
dada pela restrição espacial imposta pela fenda.
Passo 3
Aula rápida: relação entre energia cinética e momento (não-relativístico).
- Fórmula:
onde: -
é a energia cinética (em joules), -
é o módulo do momento linear (em ), -
é a massa da partícula (em kg).
-
- Rearranjando para
:
Explicação intuitiva: para velocidades muito menores que a da luz a energia cinética é
e
, daí a relação acima. Antes de usar essa fórmula vamos confirmar que a aproximação não relativística é segura.
Passo 4
Verificação não-relativística (rápida checagem): energia de repouso do elétron é
.
- Calculemos aproximadamente (apenas para comparar ordens):
- Comparando com
, temos muito menor que (diferença de cerca de vezes ou mais). Logo podemos usar a expressão não-relativística com segurança.
Passo 5
Cálculo do momento
. Usando
:
Faço a multiplicação de mantissas e potência de 10 separadamente:
Logo
Agora a raiz quadrada:
Comentário: esse é o módulo do momento linear do elétron antes de qualquer espalhamento.
Passo 6
Aula rápida: comprimento de onda de Broglie.
- Relação de de Broglie:
onde: -
é a constante de Planck (em ), -
é o momento linear.
-
- Como foi dado
, usamos . Com ,
Passo 7
Cálculo numérico do comprimento de onda
:
Dividindo mantissas e potências:
Logo
Interpretação: o comprimento de onda de Broglie do elétron é da ordem de
.
Passo 8
Resposta à pergunta (b): quando a difração é observável? Regra prática e aplicação:
- Regra prática: para observar difração e espalhamento significativo, o comprimento de onda
deve ser da ordem de grandeza da abertura ou maior. Se a difração existe, mas é menos pronunciada; se é comparável a ou maior, a difração é forte e o feixe se espalha bastante. - Aqui temos, dos resultados anteriores,
e . Assim (aproximadamente ). - Interpretando a fórmula fornecida
(usada para posições de máximos/ordens): para , , o que significa que a condição para um primeiro máximo/minimo em ângulo finito não é satisfeita — fisicamente isso indica que o padrão central se espalha por ângulos muito grandes (ou seja, o espalhamento é muito amplo). Em resumo: a difração será claramente observável e muito pronunciada (o feixe não ficará apenas quase reto).
Passo 9
Aula rápida: princípio da incerteza de Heisenberg e aplicação à fenda.
- Princípio da incerteza (forma usual):
onde: -
é a incerteza na posição na direção perpendicular (a direção em que a fenda localiza o elétron), -
é a incerteza na componente do momento nessa direção.
-
- Interpretação física: ao localizar a partícula num intervalo de largura
, aumentamos a incerteza na componente do momento perpendicular; isto causa espalhamento angular (difração).
Passo 10
Aplicação numérica do princípio da incerteza.
- Tomamos
(a fenda restringe a posição perp. ao feixe a esse intervalo). - Assim a menor incerteza possível em
é
Calculemos:
Portanto
Passo 11
Interpretação do valor de
em relação ao momento inicial e ao espalhamento angular:
- Momento inicial calculado no Passo 5:
. - Razão
. Ou seja, a incerteza perpendicular é cerca de do momento total — isso significa um espalhamento angular apreciável. - Estimativa do ângulo típico: para pequenas inclinações
, . Assim rad . Isso concorda qualitativamente com a ideia de forte difração encontrada no item (b).
Resposta
(a)
(b) Sim — porque é maior que
, ou seja
, então haverá difração forte (o padrão central se espalha por ângulos grandes).
(c)
(b) Sim — porque
(c)