Um fio retilíneo infinito é disposto paralelo ao eixo y e cruza o eixo z no ponto z=h. Uma corrente I flui neste fio. Uma espira quadrada de lado b está no plano xy. Dois dos lados da espira quadrada são paralelos ao fio transportando corrente. Se a espira quadrada estiver se movimentando com velocidade v na direção x, determine a força eletromotriz induzida na espira no instante em que o centro da espira cruzar o eixo y.

Passo 1

O enunciado descreve um fio infinito paralelo ao eixo y, passando por (x=0,\;z=h), que carrega corrente I. No plano xy move-se uma espira quadrada de lado b com velocidade constante v na direção x. No instante em que o centro da espira cruza o eixo y (isto é, sua coordenada x_{\rm c}=0), precisamos achar a força eletromotriz induzida \mathcal E. Vamos usar o método do fluxo magnético e a Lei de Faraday para campos variáveis devido ao movimento.

Passo 2

Para o fio infinito paralelo a y a uma distância r num plano perpendicular (plano xz) vale
\mathbf B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\mathbf e_\varphi.
No plano da espira ( z=0), a distância do fio a um ponto de coordenada x é
r=\sqrt{x^2+h^2},
e a componente normal ao plano da espira ( \hat n=\hat z) é
B_z(x) =\mathbf B\cdot\hat z =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,(\mathbf e_\varphi\!\cdot\!\hat z) =\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{x}{x^2+h^2}.

Passo 3

O fluxo magnético atravessando a espira vale
\Phi(t) =\iint_{\text{espira}}B_z(x)\,dA =\int_{x_{\rm c}(t)-\tfrac b2}^{x_{\rm c}(t)+\tfrac b2} \!\int_{-b/2}^{b/2}\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{x}{x^2+h^2}\,dy\,dx.
Como \int_{-b/2}^{b/2}dy=b, temos
\Phi(t) =\frac{\mu_0 I\,b}{2\pi} \int_{x_{\rm c}(t)-\tfrac b2}^{\,x_{\rm c}(t)+\tfrac b2}\frac{x}{x^2+h^2}\,dx.

Passo 4

Pela Lei de Faraday a força eletromotriz (com sinal) é
\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{\mu_0 I\,b}{2\pi} \frac{d}{dt}\Biggl[ \int_{x_{\rm c}(t)-\tfrac b2}^{\,x_{\rm c}(t)+\tfrac b2}\frac{x}{x^2+h^2}\,dx \Biggr].
Como x_{\rm c}(t)=vt, as fronteiras movem-se com velocidade v. Pelo Teorema de Leibniz,
\frac{d}{dt}\!\int_{a(t)}^{b(t)}f(x)\,dx =f\bigl(b(t)\bigr)\,b'(t)\;-\;f\bigl(a(t)\bigr)\,a'(t).
Logo, em x_{\rm c}=0 (isto é, a=-b/2, b=+b/2, a'=b'=v),
\frac{d\Phi}{dt} =\frac{\mu_0 I\,b}{2\pi}\,v \Bigl[ \frac{x}{x^2+h^2}\Bigr]_{x=+\tfrac b2} -\frac{\mu_0 I\,b}{2\pi}\,v \Bigl[ \frac{x}{x^2+h^2}\Bigr]_{x=-\tfrac b2}.

Passo 5

Avaliamo os termos em x=+\tfrac b2 e x=-\tfrac b2:
\frac{\tfrac b2}{(\tfrac b2)^2+h^2} -\frac{-\tfrac b2}{(\tfrac b2)^2+h^2} =\frac{b}{(\tfrac b2)^2+h^2}.
Assim
\frac{d\Phi}{dt} =\frac{\mu_0 I\,b}{2\pi}\,v\;\frac{b}{(\tfrac b2)^2+h^2} =\frac{\mu_0 I\,v\,b^2}{2\pi\bigl(\tfrac{b^2}{4}+h^2\bigr)}.
Tomando o módulo da força eletromotriz induzida,

Resposta

\boxed{ \mathcal E =\frac{\mu_0\,I\,v\,b^2}{2\pi\bigl(\tfrac{b^2}{4}+h^2\bigr)} \;=\; \frac{2\,\mu_0\,I\,v\,b^2}{\pi\,\bigl(b^2+4h^2\bigr)}. }

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