Na região central de um solenóide, de 5 cm de diâmetro, que está conectado a uma fonte de tensão alternada, o campo magnético oscila a 2.5 \times 10^{6} ciclos por segundo com uma amplitude de 4 \times 10^{-4} \mathrm{~T}. Qual é a amplitude do campo elétrico oscilante em um ponto a 3 cm do eixo?

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético oscilante no interior de um solenóide, com frequência f=2{,}5\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}} e amplitude B_{0}=4\times10^{-4}\,\mathrm{T}. Queremos a amplitude do campo elétrico induzido num ponto a r=3\,\mathrm{cm}=0{,}03\,\mathrm{m} do eixo. Vamos usar a lei de Faraday-Maxwell em sua forma integral para superfícies circulares concêntricas ao eixo.

Passo 2

Escolhemos um caminho circular de raio r. Como o campo elétrico induzido \mathbf{E} é tangencial e de módulo constante E(r) nesse círculo, a lei de Faraday diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\; E(r)\,2\pi r \;=\;-\,\frac{d}{dt}\!\bigl[\Phi_{B}\bigr]
onde a fluxo magnético através do disco de raio r é
\Phi_{B}(t)=B(t)\,\pi r^{2}.
Como B(t)=B_{0}\cos(\omega t), temos
\bigl|\dot\Phi_{B}\bigr| \;=\; \omega\,B_{0}\,\pi r^{2}.
Logo, tomando amplitudes,
E_{0}\,2\pi r = \omega\,B_{0}\,\pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad E_{0} = \frac{\omega\,B_{0}\,r}{2}.

Passo 3

A pulsação \omega relaciona-se à frequência por
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2{,}5\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}} = 5\pi\times10^{6}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Substituindo os valores em
E_{0} = \frac{\omega\,B_{0}\,r}{2}
obtemos
E_{0} = \frac{(5\pi\times10^{6})(4\times10^{-4})(0{,}03)}{2} = \frac{2000\pi\times0{,}03}{2} = 30\pi\;\approx94{,}2\;\mathrm{V/m}.

Resposta

A amplitude do campo elétrico oscilante é aproximadamente
E_{0}\approx94\;\mathrm{V/m}.

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