Um fio tem uma resistência R_{0} à temperatura padrão T_{0}=293 \mathrm{~K}. O coeficiente de temperatura da resistividade é \alpha=4,00 \cdot 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}. Qual deve ser o aumento da temperatura para que a resistência do fio aumente para R_{f}=(1,000020) R_{0}, o que corresponde a um aumento de 20 partes por milhão? Suponha que as variações do comprimento e da área da seção reta do fio são desprezíveis.
Fonte: adaptado de PR09 do cap. 26 da referência 1.

Passo 1

O enunciado dá um fio com resistência inicial R_{0} à temperatura padrão T_{0}=293\\ \mathrm{K} e pede o aumento de temperatura \Delta T para que a resistência atinja
R_{f} = (1{,}000020)\,R_{0},
sabendo que o coeficiente de temperatura da resistividade é \alpha = 4{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1} e que as variações geométricas são desprezíveis. Vamos usar a lei de variação linear da resistência com a temperatura.

Passo 2

A dependência da resistência com a temperatura, desprezando mudanças no comprimento e na área, é
R(T)=R_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr]
ou seja,
R_{f}=R_{0}\bigl[1+\alpha\,\Delta T\bigr],
com \Delta T=T-T_{0}.

Passo 3

Igualamos à condição dada:
R_{f}=(1{,}000020)\,R_{0} =R_{0}\bigl[1+\alpha\,\Delta T\bigr].
Cancelando R_{0} dos dois lados, vem
1+\alpha\,\Delta T = 1{,}000020 \quad\Longrightarrow\quad \alpha\,\Delta T = 2{,}0\times10^{-5}.

Passo 4

Isolando \Delta T:
\Delta T = \frac{2{,}0\times10^{-5}}{4{,}00\times10^{-3}} =5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{K}.

Resposta

O aumento de temperatura necessário é \Delta T = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{K}.

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