Uma firma tem custo marginal (em R$/unidade), dado para q>1, por
C_{m}(q)=\frac{1}{q \ln q}
O custo total C(q) satisfaz C^{\prime}(q)=C_{m}(q).
Encontre C(q) (forma geral, com constante de integração).

Passo 1

O enunciado dá o custo marginal
C_{m}(q)=\frac{1}{q\ln q}
para q>1 e pede o custo total C(q) tal que
C'(q)=C_{m}(q).
Logo, precisamos integrar C_{m}(q) em relação a q.

Passo 2

Escrevemos a integral para obter C(q):
C(q)=\int C_{m}(q)\,\mathrm{d}q =\int \frac{1}{q\ln q}\,\mathrm{d}q.

Passo 3

Para calcular
\int \frac{1}{q\ln q}\,\mathrm{d}q
fazemos a substituição
u=\ln q\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u=\frac{1}{q}\,\mathrm{d}q.
Assim a integral vira
\int \frac{1}{q\ln q}\,\mathrm{d}q =\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \ln\lvert u\rvert + \text{constante}.
Como q>1\Rightarrow \ln q>0, temos \lvert u\rvert=u. Voltando a q,
C(q)=\ln(\ln q)+K,
onde K é a constante de integração.

Resposta

C(q)=\ln\bigl(\ln q\bigr)+K,
para q>1 e K\in\mathbb{R}.

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