Considere a família de curvas
.
a) Esboce essa família de curvas. Que curvas são essas?
b) Encontre uma família de curvas ortogonais à família dada.
a) Esboce essa família de curvas. Que curvas são essas?
b) Encontre uma família de curvas ortogonais à família dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas definida por
com
,
, e pede:
(a) esboçar essas curvas e identificar de que tipo são;
(b) encontrar a família de curvas que lhes seja ortogonal.
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para achar o declive da família dada e depois impor a condição de ortogonalidade.
(a) esboçar essas curvas e identificar de que tipo são;
(b) encontrar a família de curvas que lhes seja ortogonal.
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para achar o declive da família dada e depois impor a condição de ortogonalidade.
Passo 2
Para entender que curvas são, note que, para cada valor fixo de
, a equação
é a forma geral de uma elipse centrada na origem, cujos semi-eixos são
Como
e
, consideramos apenas o ramo no primeiro quadrante.
Passo 3
Para achar a inclinação
da família dada, diferenciamos a equação implícita em relação a
:
Em bloco:
Passo 4
Isolando
obtemos
Essa é a inclinação das elipses da família dada.
Passo 5
Para as curvas ortogonais, a inclinação deve satisfazer
Portanto as ortogonais obedecem à equação diferencial
que é separável. Separamos e integramos:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando da forma logarítmica, a família de ortogonais fica
com
.
Resposta
(a) Cada curva
é uma elipse de semi-eixos
e
, restrita ao primeiro quadrante.
(b) A família de curvas ortogonais é
(b) A família de curvas ortogonais é
com
.