Considere a família de curvas \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=C, x>0, y>0.
a) Esboce essa família de curvas. Que curvas são essas?
b) Encontre uma família de curvas ortogonais à família dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas definida por
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=C,
com x>0, y>0, e pede:
(a) esboçar essas curvas e identificar de que tipo são;
(b) encontrar a família de curvas que lhes seja ortogonal.
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para achar o declive da família dada e depois impor a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Para entender que curvas são, note que, para cada valor fixo de C>0, a equação
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=C
é a forma geral de uma elipse centrada na origem, cujos semi-eixos são
a=3\sqrt{C} \quad\text{e}\quad b=2\sqrt{C}.
Como x>0 e y>0, consideramos apenas o ramo no primeiro quadrante.

Passo 3

Para achar a inclinação y'=\frac{dy}{dx} da família dada, diferenciamos a equação implícita em relação a x:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\Bigr)=\frac{dC}{dx}=0.
Em bloco:
\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}\,y'=0.

Passo 4

Isolando y' obtemos
y'=-\frac{\tfrac{2x}{9}}{\tfrac{2y}{4}} =-\frac{2x}{9}\cdot\frac{4}{2y} =-\frac{4x}{9y}.
Essa é a inclinação das elipses da família dada.

Passo 5

Para as curvas ortogonais, a inclinação deve satisfazer
y'_{\perp}\cdot y'=-1 \quad\Longrightarrow\quad y'_{\perp}=-\frac{1}{y'}=\frac{9y}{4x}.
Portanto as ortogonais obedecem à equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{9y}{4x},
que é separável. Separamos e integramos:
\frac{dy}{y}=\frac{9}{4}\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln y=\frac{9}{4}\ln x+\ln K,
onde K é constante de integração.

Passo 6

Voltando da forma logarítmica, a família de ortogonais fica
y=K\,x^{\tfrac{9}{4}},
com K>0.

Resposta

(a) Cada curva \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=C é uma elipse de semi-eixos 3\sqrt{C} e 2\sqrt{C}, restrita ao primeiro quadrante.
(b) A família de curvas ortogonais é
y=K\,x^{\tfrac{9}{4}},
com K>0.

Exercícios relacionados