Uma firma uniproduto produz sujeita a uma tecnologia descrita pela função de produção f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\min \left\{2 x_{1}, 6 x_{2}\right\} sendo x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}_{+}as quantidades dos insumos 1 e 2 , respectivamente. Responda:
(a) Que tipo de tecnologia a função de produção representa?
(b) Qual é o domínio da função de produção?
(c) Defina por compreensão a isoquanta associada à produção de 12 unidades de produto.
(d) Esboce as isoquantas associadas aos níveis de produção 6, 8 e 12.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(x_{1},x_{2})=\min\{2x_{1},\,6x_{2}\},
com x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}_{+}. As perguntas são:
(a) que tipo de tecnologia essa função representa?
(b) qual é o domínio da função de produção?
(c) definir por compreensão a isoquanta associada à produção de 12 unidades de produto;
(d) esboçar (descrever) as isoquantas para os níveis de produção 6, 8 e 12.

Passo 2

Entendendo a função: a operação \min\{a,b\} devolve o menor entre a e b. Assim, para cada par (x_{1},x_{2}) a produção é limitada pelo “gargalo” entre 2x_{1} e 6x_{2}. Vou mostrar com exemplos numéricos para ficar claro:
  • Se (x_{1},x_{2})=(1,1) então \;2x_{1}=2 e \;6x_{2}=6, logo \;f(1,1)=\min\{2,6\}=2. A produção é limitada por 2x_{1}.
  • Se (x_{1},x_{2})=(4,0,5) (isto é, x_{1}=4, x_{2}=0{,}5) então \;2x_{1}=8 e \;6x_{2}=3, logo \;f(4,0{,}5)=\min\{8,3\}=3. A produção é limitada por 6x_{2}.
Esses exemplos mostram que um insumo pode ser “excedente” (não aumentar a produção) se o outro insumo for o gargalo.

Passo 3

Responder (a) com argumento didático: a forma \min\{2x_{1},6x_{2}\} é típica da tecnologia de tipos “Leontief” ou de complementos perfeitos. Características essenciais:
  • Não há possibilidade de substituir um insumo por outro mantendo o mesmo nível de produção: se um insumo for reduzido, a produção cai imediatamente quando ele se tornar o menor dos dois termos.
  • As isoquantas têm formato em “L” (um canto rígido) porque, para produzir uma quantidade fixa, existe uma combinação mínima de cada insumo e qualquer excesso em um insumo não compensa a falta do outro.
Portanto a tecnologia é de complementos perfeitos (Leontief, proporções fixas).

Passo 4

Responder (b) com justificativa: a função está definida sempre que x_{1} e x_{2} forem não-negativos, pois os termos 2x_{1} e 6x_{2} estão bem definidos para x_{i}\ge 0. Logo o domínio é
\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}\ge 0,\;x_{2}\ge 0\}=\mathbb{R}_{+}^{2}.
Observação adicional: a imagem (conjunto de valores possíveis de f) é [0,\infty).

Passo 5

Definição e método para isoquanta (preparando a resposta de (c) e (d)): para um nível de produção q\ge 0, a isoquanta é o conjunto
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid f(x_{1},x_{2})=q\}.
No nosso caso isso significa
\min\{2x_{1},6x_{2}\}=q.
A igualdade \min\{A,B\}=q é equivalente a: A\ge q, B\ge q e pelo menos um dos dois é igual a q. Aplicando isso aqui obtemos as condições:
2x_{1}\ge q,\qquad 6x_{2}\ge q,
e
\text{(ou)}\quad 2x_{1}=q \quad\text{ou}\quad 6x_{2}=q.
Convertendo para x_{1},x_{2}:
x_{1}\ge \frac{q}{2},\qquad x_{2}\ge \frac{q}{6},
e
x_{1}=\frac{q}{2}\quad\text{ou}\quad x_{2}=\frac{q}{6}.

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior ao caso q=12 (resposta da parte (c)):
  • Calcule \dfrac{q}{2}=\dfrac{12}{2}=6.
  • Calcule \dfrac{q}{6}=\dfrac{12}{6}=2.
Portanto a isoquanta para 12 unidades é o conjunto de pontos não-negativos tais que x_{1}\ge 6, x_{2}\ge 2 e ( x_{1}=6 ou x_{2}=2 ). Em linguagem por compreensão:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}\ge 6,\;x_{2}\ge 2,\; \text{e }(x_{1}=6\\ \text{ou}\\ x_{2}=2)\}.
Geometricamente isso é o “L” com canto em (6,2): a união da reta vertical \{x_{1}=6,\;x_{2}\ge 2\} com a reta horizontal \{x_{1}\ge 6,\;x_{2}=2\}.

Passo 7

Agora a parte (d): construir as isoquantas para q=6,8,12. Primeiro os cantos (pontos mínimos) de cada isoquanta são dados por \big(q/2,\;q/6\big). Calculemos:
  • Para q=6: \dfrac{6}{2}=3, \dfrac{6}{6}=1. Cantor: (3,1). Isoquanta:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}\ge 3,\;x_{2}\ge 1,\; (x_{1}=3\\ \text{ou}\\ x_{2}=1)\}.
  • Para q=8: \dfrac{8}{2}=4, \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}. Cantor: \big(4,\tfrac{4}{3}\big). Isoquanta:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}\ge 4,\;x_{2}\ge \tfrac{4}{3},\; (x_{1}=4\\ \text{ou}\\ x_{2}=\tfrac{4}{3})\}.
  • Para q=12: já calculado, canto em (6,2) e isoquanta igual à união da vertical \{x_{1}=6,\;x_{2}\ge 2\} com a horizontal \{x_{1}\ge 6,\;x_{2}=2\}.
Descrição para esboçar (como desenhar na prova): marque os pontos-canto (3,1), (4,\tfrac{4}{3}), (6,2); de cada ponto desenhe uma semi-reta horizontal para a direita e uma semi-reta vertical para cima, formando um “L” em cada nível. Os isoquantes correspondentes são três “L” paralelo deslocados para cima/direita conforme q aumenta.

Resposta

(a) Tecnologia de complementos perfeitos (Leontief), com isoquantas em “L”.
(b) \mathbb{R}_{+}^{2}=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}\ge 0,\\ x_{2}\ge 0\}.
(c) \{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}\ge 6,\\ x_{2}\ge 2,\\ \text{e }(x_{1}=6\\ \text{ou}\\ x_{2}=2)\}.
(d) Isoquanta como “L” com cantos em (3,1), (4,\tfrac{4}{3}) e (6,2); explicitamente:
\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}\ge 3,\\ x_{2}\ge 1,\\ (x_{1}=3\\ \text{ou}\\ x_{2}=1)\},
\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}\ge 4,\\ x_{2}\ge \tfrac{4}{3},\\ (x_{1}=4\\ \text{or}\\ x_{2}=\tfrac{4}{3})\},
\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}\ge 6,\\ x_{2}\ge 2,\\ (x_{1}=6\\ \text{ou}\\ x_{2}=2)\}.

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