Uma firma uniproduto produz sujeita a uma tecnologia descrita pela função de produção
sendo
as quantidades dos insumos 1 e 2 , respectivamente. Responda:
(a) Que tipo de tecnologia a função de produção representa?
(b) Qual é o domínio da função de produção?
(c) Defina por compreensão a isoquanta associada à produção de 12 unidades de produto.
(d) Esboce as isoquantas associadas aos níveis de produção 6, 8 e 12.
(a) Que tipo de tecnologia a função de produção representa?
(b) Qual é o domínio da função de produção?
(c) Defina por compreensão a isoquanta associada à produção de 12 unidades de produto.
(d) Esboce as isoquantas associadas aos níveis de produção 6, 8 e 12.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
com
. As perguntas são:
(a) que tipo de tecnologia essa função representa?
(b) qual é o domínio da função de produção?
(c) definir por compreensão a isoquanta associada à produção de unidades de produto;
(d) esboçar (descrever) as isoquantas para os níveis de produção ,
e
.
(a) que tipo de tecnologia essa função representa?
(b) qual é o domínio da função de produção?
(c) definir por compreensão a isoquanta associada à produção de
(d) esboçar (descrever) as isoquantas para os níveis de produção
Passo 2
Entendendo a função: a operação
devolve o menor entre
e
. Assim, para cada par
a produção é limitada pelo “gargalo” entre
e
. Vou mostrar com exemplos numéricos para ficar claro:
- Se
então e , logo . A produção é limitada por . - Se
(isto é, , ) então e , logo . A produção é limitada por .
Esses exemplos mostram que um insumo pode ser “excedente” (não aumentar a produção) se o outro insumo for o gargalo.
Passo 3
Responder (a) com argumento didático: a forma
é típica da tecnologia de tipos “Leontief” ou de complementos perfeitos. Características essenciais:
- Não há possibilidade de substituir um insumo por outro mantendo o mesmo nível de produção: se um insumo for reduzido, a produção cai imediatamente quando ele se tornar o menor dos dois termos.
- As isoquantas têm formato em “L” (um canto rígido) porque, para produzir uma quantidade fixa, existe uma combinação mínima de cada insumo e qualquer excesso em um insumo não compensa a falta do outro.
Portanto a tecnologia é de complementos perfeitos (Leontief, proporções fixas).
Passo 4
Responder (b) com justificativa: a função está definida sempre que
e
forem não-negativos, pois os termos
e
estão bem definidos para
. Logo o domínio é
Observação adicional: a imagem (conjunto de valores possíveis de
) é
.
Passo 5
Definição e método para isoquanta (preparando a resposta de (c) e (d)): para um nível de produção
, a isoquanta é o conjunto
No nosso caso isso significa
A igualdade
é equivalente a:
,
e pelo menos um dos dois é igual a
. Aplicando isso aqui obtemos as condições:
e
Convertendo para
:
e
Passo 6
Aplicando o resultado do passo anterior ao caso
(resposta da parte (c)):
- Calcule
. - Calcule
.
Portanto a isoquanta para
unidades é o conjunto de pontos não-negativos tais que
,
e (
ou
). Em linguagem por compreensão:
Geometricamente isso é o “L” com canto em
: a união da reta vertical
com a reta horizontal
.
Passo 7
Agora a parte (d): construir as isoquantas para
. Primeiro os cantos (pontos mínimos) de cada isoquanta são dados por
. Calculemos:
- Para
: , . Cantor: . Isoquanta:
- Para
: , . Cantor: . Isoquanta:
- Para
: já calculado, canto em e isoquanta igual à união da vertical com a horizontal .
Descrição para esboçar (como desenhar na prova): marque os pontos-canto
,
,
; de cada ponto desenhe uma semi-reta horizontal para a direita e uma semi-reta vertical para cima, formando um “L” em cada nível. Os isoquantes correspondentes são três “L” paralelo deslocados para cima/direita conforme
aumenta.
Resposta
(a) Tecnologia de complementos perfeitos (Leontief), com isoquantas em “L”.
(b)
(c)
(d) Isoquanta como “L” com cantos em ,
e
; explicitamente:
,
,
.
(b)
(c)
(d) Isoquanta como “L” com cantos em