Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
f(x, y)=\sqrt[3]{x^{2}-x y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}-x y} e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, calcular o grau de homogeneidade.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão da função é f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}-x y}.
  • A raiz cúbica está bem definida para todos os reais, então o domínio real não apresenta restrições especiais.
  • Precisamos testar a propriedade de homogeneidade: verificar se existe um número k tal que f(tx,ty)=t^{k}f(x,y) (normalmente para todo t>0; comentarei também o caso de t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Vamos recordar (de maneira direta e útil) o que significa ser homogênea:
Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo escalar t>0, vale
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Isto quer dizer que ao multiplicar todos os argumentos por t, o valor da função é multiplicado por t^{k}. Na prática, para testar, substituímos (x,y) por (tx,ty) e tentamos fatorar um t^{k} à frente de f(x,y).

Passo 3

Faço a substituição direta (x,y)\mapsto(tx,ty):
f(tx,ty)=\sqrt[3]{(tx)^{2}-(tx)(ty)}.
Agora desenvolvo as potências e fatoro t^{2}:
f(tx,ty)=\sqrt[3]{t^{2}x^{2}-t^{2}xy}=\sqrt[3]{t^{2}\bigl(x^{2}-xy\bigr)}.

Passo 4

Uso a propriedade da raiz cúbica (produto dentro da raiz cúbica = produto das raízes cúbicas, válida para números reais):
\sqrt[3]{t^{2}\bigl(x^{2}-xy\bigr)}=\sqrt[3]{t^{2}}\;\sqrt[3]{x^{2}-xy}.
Mas \sqrt[3]{x^{2}-xy}=f(x,y). E \sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3} (para t>0 isto é igual a |t|^{2/3}, e como t^{2}\ge0 a raiz cúbica dá um fator não negativo). Portanto:
f(tx,ty)=t^{2/3}f(x,y).

Passo 5

Interpretação do resultado: acabamos de obter a forma exata exigida pela definição de homogeneidade com k=\tfrac{2}{3}. Logo, f é homogênea de grau 2/3.
Observações sobre sinais e domínio: a identidade acima é válida para todo t>0 de forma direta. Para t<0, como \sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=|t|^{2/3}, tem-se f(tx,ty)=|t|^{2/3}f(x,y); portanto, para escalares negativos não aparece alteração de sinal extra — o fator é |t|^{2/3}. A convenção usual de homogeneidade exige apenas t>0, então não há problema: grau 2/3 é o resultado correto.

Passo 6

Checo com um exemplo numérico para ficar seguro: escolha x=2, y=1 e t=3.
f(2,1)=\sqrt[3]{2^{2}-2\cdot1}=\sqrt[3]{4-2}=\sqrt[3]{2}.
f(3\cdot2,3\cdot1)=f(6,3)=\sqrt[3]{6^{2}-6\cdot3}=\sqrt[3]{36-18}=\sqrt[3]{18}.
Pelo fator t^{2/3} com t=3:
3^{2/3}f(2,1)=3^{2/3}\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{3^{2}}\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{18},
coincidindo com f(6,3). Bom sinal.

Passo 7

Regra geral útil (para a prova): se uma expressão interior é homogênea de grau m (ou soma de termos todos de grau m) e se aplicamos uma potência (\cdot)^{1/n} (como raiz n-ésima), então o grau total fica m/n. No nosso caso o polinômio x^{2}-xy é homogêneo de grau 2, e a raiz cúbica é potência 1/3, dando 2/3.

Resposta

A função f é homogênea de grau \tfrac{2}{3}.

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