Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, calcular o grau de homogeneidade.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A expressão da função é
. - A raiz cúbica está bem definida para todos os reais, então o domínio real não apresenta restrições especiais.
- Precisamos testar a propriedade de homogeneidade: verificar se existe um número
tal que (normalmente para todo ; comentarei também o caso de ).
Passo 2
Vamos recordar (de maneira direta e útil) o que significa ser homogênea:
Uma função é homogênea de grau
se, para todo escalar
, vale
Uma função
Isto quer dizer que ao multiplicar todos os argumentos por
, o valor da função é multiplicado por
. Na prática, para testar, substituímos
por
e tentamos fatorar um
à frente de
.
Passo 3
Faço a substituição direta
:
Agora desenvolvo as potências e fatoro
:
Passo 4
Uso a propriedade da raiz cúbica (produto dentro da raiz cúbica = produto das raízes cúbicas, válida para números reais):
Mas
. E
(para
isto é igual a
, e como
a raiz cúbica dá um fator não negativo). Portanto:
Passo 5
Interpretação do resultado: acabamos de obter a forma exata exigida pela definição de homogeneidade com
. Logo,
é homogênea de grau
.
Observações sobre sinais e domínio: a identidade acima é válida para todo de forma direta. Para
, como
, tem-se
; portanto, para escalares negativos não aparece alteração de sinal extra — o fator é
. A convenção usual de homogeneidade exige apenas
, então não há problema: grau
é o resultado correto.
Observações sobre sinais e domínio: a identidade acima é válida para todo
Passo 6
Checo com um exemplo numérico para ficar seguro: escolha
,
e
.
Pelo fator
com
:
coincidindo com
. Bom sinal.
Passo 7
Regra geral útil (para a prova): se uma expressão interior é homogênea de grau
(ou soma de termos todos de grau
) e se aplicamos uma potência
(como raiz
-ésima), então o grau total fica
. No nosso caso o polinômio
é homogêneo de grau
, e a raiz cúbica é potência
, dando
.
Resposta
A função
é homogênea de grau
.