Na física, define-se o Trabalho T feito no movimento de um objeto de a para b como a integral T=\int_{a}^{b} F(x) d x, onde F(x) é a força que atua no objeto provocando seu movimento. A Lei de Hooke afirma que a força F necessária para manter uma mola esticada x unidades além de seu comprimento natural é F(x)=k x, onde k é uma constante positiva. Sabendo isso, considere uma mola que exerce uma força de 2.9 N quando esticada 3 m além de seu comprimento natural. Qual o trabalho feito para esticar a mola 6.2 m além do seu comprimento natural?
Escolha uma opção:
◯ a. 17.4646
◯ b. 20.4373
◯ c. 18.5793
◯ d. 22.2952
◯ e. 17.7291
Passo 1
O enunciado pede o trabalho necessário para esticar uma mola desde seu comprimento natural até 6{,}2 m além do natural. As informações dadas são:
A força segue a Lei de Hooke: F(x)=k x, com k>0.
Quando a mola está esticada 3 m além do natural, ela exerce 2{,}9 N, isto é, F(3)=2{,}9.
Queremos o trabalho para esticar de x=0 até x=6{,}2.
A pergunta concreta: qual é o valor de T=\int_{0}^{6{,}2} F(x)\,dx dado o que foi informado?
Passo 2
Primeiro vamos usar a informação F(3)=2{,}9 para achar a constante k. Da Lei de Hooke temos
F(3)=k\cdot 3.
Portanto, isolando k,
k=\frac{F(3)}{3}=\frac{2{,}9}{3}.
Para manipular com mais exatidão podemos ver 2{,}9=\frac{29}{10}, então
k=\frac{29/10}{3}=\frac{29}{30}.
Logo k=\frac{29}{30} (em unidades de N/m).
Passo 3
Agora lembramos a definição de trabalho quando a força varia com x: o trabalho de a até b é
T=\int_{a}^{b} F(x)\,dx.
Aqui F(x)=k x e queremos a=0, b=6{,}2, então
T=\int_{0}^{6{,}2} k x\,dx.
Vou explicar a antiderivada que usamos: a integral de x em relação a x é \tfrac{1}{2}x^{2}, porque derivando \tfrac{1}{2}x^{2} obtemos x. Em geral, para um número constante k,
\int k x\,dx = k\int x\,dx = k\cdot\frac{1}{2}x^{2} = \frac{k}{2}x^{2}.
Passo 4
Aplicando a antiderivada no intervalo [0,6{,}2] obtemos