Na física, define-se o Trabalho T feito no movimento de um objeto de a para b como a integral T=\int_{a}^{b} F(x) d x, onde F(x) é a força que atua no objeto provocando seu movimento. A Lei de Hooke afirma que a força F necessária para manter uma mola esticada x unidades além de seu comprimento natural é F(x)=k x, onde k é uma constante positiva. Sabendo isso, considere uma mola que exerce uma força de 2.9 N quando esticada 3 m além de seu comprimento natural. Qual o trabalho feito para esticar a mola 6.2 m além do seu comprimento natural?
Escolha uma opção:
◯ a. 17.4646
◯ b. 20.4373
◯ c. 18.5793
◯ d. 22.2952
◯ e. 17.7291

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para esticar uma mola desde seu comprimento natural até 6{,}2 m além do natural. As informações dadas são:
  • A força segue a Lei de Hooke: F(x)=k x, com k>0.
  • Quando a mola está esticada 3 m além do natural, ela exerce 2{,}9 N, isto é, F(3)=2{,}9.
  • Queremos o trabalho para esticar de x=0 até x=6{,}2.
    A pergunta concreta: qual é o valor de T=\int_{0}^{6{,}2} F(x)\,dx dado o que foi informado?

Passo 2

Primeiro vamos usar a informação F(3)=2{,}9 para achar a constante k. Da Lei de Hooke temos
F(3)=k\cdot 3.
Portanto, isolando k,
k=\frac{F(3)}{3}=\frac{2{,}9}{3}.
Para manipular com mais exatidão podemos ver 2{,}9=\frac{29}{10}, então
k=\frac{29/10}{3}=\frac{29}{30}.
Logo k=\frac{29}{30} (em unidades de N/m).

Passo 3

Agora lembramos a definição de trabalho quando a força varia com x: o trabalho de a até b é
T=\int_{a}^{b} F(x)\,dx.
Aqui F(x)=k x e queremos a=0, b=6{,}2, então
T=\int_{0}^{6{,}2} k x\,dx.
Vou explicar a antiderivada que usamos: a integral de x em relação a x é \tfrac{1}{2}x^{2}, porque derivando \tfrac{1}{2}x^{2} obtemos x. Em geral, para um número constante k,
\int k x\,dx = k\int x\,dx = k\cdot\frac{1}{2}x^{2} = \frac{k}{2}x^{2}.

Passo 4

Aplicando a antiderivada no intervalo [0,6{,}2] obtemos
T=\left.\frac{k}{2}x^{2}\right|_{0}^{6{,}2}=\frac{k}{2}\,(6{,}2)^{2}-\frac{k}{2}\,0^{2}=\frac{k}{2}\,(6{,}2)^{2}.
Substituindo k=\frac{29}{30},
T=\frac{1}{2}\cdot\frac{29}{30}\cdot(6{,}2)^{2}=\frac{29}{60}\cdot(6{,}2)^{2}.
Calculemos passo a passo: (6{,}2)^{2}=6{,}2\cdot6{,}2=38{,}44. Então
T=\frac{29}{60}\cdot 38{,}44.
Multiplicando 38{,}44\cdot 29: 38{,}44\cdot 30=1\,153{,}2 e subtraindo uma vez 38{,}44 obtemos 1\,114{,}76. Agora dividimos por 60:
T=\frac{1\,114{,}76}{60}=18{,}579333\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), T=18{,}5793. A unidade do trabalho é \text{N}\cdot\text{m}=\text{J}.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, o valor 18{,}5793 corresponde à alternativa c.

Resposta

c. 18,5793

Exercícios relacionados