O pósitron é uma partícula que tem a mesma massa do elétron e possui uma carga igual a +e. O positrônio é um estado ligado de uma combinação elétron-pósitron. Calcule as energias dos cinco estados de energia mais baixos do positrônio usando a massa reduzida.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as energias dos cinco estados de energia mais baixos do positrônio.
Informações dadas e úteis (explicitadas):
  • O pósitron tem a mesma massa do elétron e carga +e. Logo, para o par elétron–pósitron temos m_1=m_2=m_e.
  • O positrônio é um sistema ligado elétron–pósitron, isto é, um sistema “hidrogenoide” com duas partículas interagindo pela força coulombiana.
  • Devemos usar a massa reduzida do sistema para obter as energias (isto será essencial).
    Nenhuma outra informação adicional foi fornecida, então usaremos as constantes físicas padrão (especialmente o valor conhecido da energia do estado fundamental do hidrogênio, 13,6\\ \text{eV}, quando necessário).

Passo 2

Apresentar a fórmula geral das energias de um átomo hidrogenoide (solução do problema de Coulomb no modelo de Schrödinger ou no modelo de Bohr). A fórmula é
E_n = -\,\frac{\mu e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2},
onde:
  • \mu é a massa reduzida do sistema (explico na próxima etapa como calcular),
  • e é a carga elementar,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
    Explicação do porquê dessa fórmula (de forma didática): na solução do potencial coulombiano a energia total do estado ligado depende da massa efetiva que aparece na equação de Schrödinger; essa massa é a massa reduzida \mu. Em um átomo hidrogenoide padrão (um elétron ligado a um núcleo muito mais pesado), \mu\approx m_e e obtemos os níveis familiares do hidrogênio.

Passo 3

Calcular a massa reduzida do positrônio. A massa reduzida de duas partículas de massas m_1 e m_2 é definida por
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
No positrônio temos m_1=m_2=m_e. Substituindo:
\mu=\frac{m_e\cdot m_e}{m_e+m_e}=\frac{m_e^2}{2m_e}=\frac{m_e}{2}.
Comentário didático: isso significa que, por causa do fato de ambas as partículas terem a mesma massa, a dinâmica relativa é equivalente à de uma partícula com metade da massa do elétron movendo-se num potencial gerado pela outra. Essa redução da massa faz com que os níveis de energia sejam menos ligados (valores absolutos menores) que no hidrogênio.

Passo 4

Relacionar a fórmula geral com o caso do hidrogênio conhecido. Para o hidrogênio (onde \mu\approx m_e) a energia do nível n é clássica e conhecida:
E_n^{(\text{H})}=-\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2}=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Como a fórmula geral é proporcional a \mu, para um sistema qualquer temos
E_n = \frac{\mu}{m_e}\,E_n^{(\text{H})}.
Isto é, os níveis escalam com o fator \mu/m_e. Aqui eu usei a energia conhecida do hidrogênio para evitar recalcular com constantes físicas; isso é padrão e seguro.

Passo 5

Aplicar \mu=\dfrac{m_e}{2} obtido no Passo 3 na relação do Passo 4:
E_n = \frac{\mu}{m_e}\,E_n^{(\text{H})} = \frac{m_e/2}{m_e}\left(-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}\right) = -\frac{1}{2}\,\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Portanto
E_n = -\frac{13{,}6}{2}\\ \frac{1}{n^2}\\ \text{eV} = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{n^2}.
Explicação simples: o fator 1/2 vem diretamente da massa reduzida menor; os níveis ficam pela metade, em módulo, daqueles do hidrogênio.

Passo 6

Calcular explicitamente as cinco energias mais baixas, ou seja, para n=1,2,3,4,5. Vamos dividir passo a passo:
  • Para n=1:
E_1 = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{1^2} = -6{,}80\\ \text{eV}.
  • Para n=2:
E_2 = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{2^2} = -\frac{6{,}8}{4}\\ \text{eV} = -1{,}70\\ \text{eV}.
  • Para n=3:
E_3 = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{3^2} = -\frac{6{,}8}{9}\\ \text{eV} \approx -0{,}756\\ \text{eV}.
(Here a divisão 6{,}8/9=0{,}755555\ldots, arredondei para três dígitos significativos.)
  • Para n=4:
E_4 = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{4^2} = -\frac{6{,}8}{16}\\ \text{eV} = -0{,}425\\ \text{eV}.
  • Para n=5:
E_5 = -\frac{6{,}8\\ \text{eV}}{5^2} = -\frac{6{,}8}{25}\\ \text{eV} = -0{,}272\\ \text{eV}.
Comentário: mantive unidades em \text{eV} porque é a unidade mais prática e usual nesses problemas. Se quiser em joules, multiplica por 1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J/eV}.

Resposta

n=1:\\\ -6{,}80\\ \text{eV}
n=2:\\\ -1{,}70\\ \text{eV}
n=3:\\\ -0{,}756\\ \text{eV}
n=4:\\\ -0{,}425\\ \text{eV}
n=5:\\\ -0{,}272\\ \text{eV}

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