O pósitron é uma partícula que tem a mesma massa do elétron e possui uma carga igual a
. O positrônio é um estado ligado de uma combinação elétron-pósitron. Calcule as energias dos cinco estados de energia mais baixos do positrônio usando a massa reduzida.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as energias dos cinco estados de energia mais baixos do positrônio.
Informações dadas e úteis (explicitadas):
Informações dadas e úteis (explicitadas):
- O pósitron tem a mesma massa do elétron e carga
. Logo, para o par elétron–pósitron temos . - O positrônio é um sistema ligado elétron–pósitron, isto é, um sistema “hidrogenoide” com duas partículas interagindo pela força coulombiana.
- Devemos usar a massa reduzida do sistema para obter as energias (isto será essencial).
Nenhuma outra informação adicional foi fornecida, então usaremos as constantes físicas padrão (especialmente o valor conhecido da energia do estado fundamental do hidrogênio,, quando necessário).
Passo 2
Apresentar a fórmula geral das energias de um átomo hidrogenoide (solução do problema de Coulomb no modelo de Schrödinger ou no modelo de Bohr). A fórmula é
onde:
-
é a massa reduzida do sistema (explico na próxima etapa como calcular), -
é a carga elementar, -
é a permissividade do vácuo, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o número quântico principal ( ).
Explicação do porquê dessa fórmula (de forma didática): na solução do potencial coulombiano a energia total do estado ligado depende da massa efetiva que aparece na equação de Schrödinger; essa massa é a massa reduzida. Em um átomo hidrogenoide padrão (um elétron ligado a um núcleo muito mais pesado), e obtemos os níveis familiares do hidrogênio.
Passo 3
Calcular a massa reduzida do positrônio. A massa reduzida de duas partículas de massas
e
é definida por
No positrônio temos
. Substituindo:
Comentário didático: isso significa que, por causa do fato de ambas as partículas terem a mesma massa, a dinâmica relativa é equivalente à de uma partícula com metade da massa do elétron movendo-se num potencial gerado pela outra. Essa redução da massa faz com que os níveis de energia sejam menos ligados (valores absolutos menores) que no hidrogênio.
Passo 4
Relacionar a fórmula geral com o caso do hidrogênio conhecido. Para o hidrogênio (onde
) a energia do nível
é clássica e conhecida:
Como a fórmula geral é proporcional a
, para um sistema qualquer temos
Isto é, os níveis escalam com o fator
. Aqui eu usei a energia conhecida do hidrogênio para evitar recalcular com constantes físicas; isso é padrão e seguro.
Passo 5
Aplicar
obtido no Passo 3 na relação do Passo 4:
Portanto
Explicação simples: o fator
vem diretamente da massa reduzida menor; os níveis ficam pela metade, em módulo, daqueles do hidrogênio.
Passo 6
Calcular explicitamente as cinco energias mais baixas, ou seja, para
. Vamos dividir passo a passo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Here a divisão
, arredondei para três dígitos significativos.)
- Para
:
- Para
:
Comentário: mantive unidades em
porque é a unidade mais prática e usual nesses problemas. Se quiser em joules, multiplica por
.