Ache a série de Taylor em torno de x=0 das seguintes funções:
c) f(x)=\ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=\ln(2x+1) em torno de x=0. Estamos trabalhando com expansões de funções elementares e vamos usar o desenvolvimento conhecido de \ln(1+u) para obter o resultado.

Passo 2

Recordando a expansão de Maclaurin de \ln(1+u) para |u|<1, temos
\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{4}+\cdots
essa série converge para \ln(1+u) sempre que -1<u\le1.

Passo 3

No nosso caso, basta tomar u=2x. Logo, para |2x|<1 (ou seja, |x|<\tfrac12),
f(x)=\ln(2x+1)=\ln\bigl(1+2x\bigr) =\bigl(2x\bigr) -\frac{\bigl(2x\bigr)^2}{2} +\frac{\bigl(2x\bigr)^3}{3} -\frac{\bigl(2x\bigr)^4}{4} +\cdots.

Passo 4

Agrupando os termos em potências de x, obtemos
\ln(2x+1) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{(2x)^{n}}{n} =2x-\frac{2^2x^2}{2}+\frac{2^3x^3}{3}-\frac{2^4x^4}{4}+\cdots.

Resposta

\boxed{ \ln(2x+1) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{2^n}{n}\,x^n, \quad |x|<\tfrac12. }

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