*14.39 Água a 20^circ C se escoa em tubo horizontal com 15.0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma pressão manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 20^circ C é igual a 1,005 centipoise. a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a vazão volumétrica? b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com diâmetro igual a 3,00 cm ? c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão volumétrica quando a água está a uma temperatura de 60^circ C ? (A viscosidade da água a 60^circ C é igual a 0,469 centipoise.)

Passo 1

O enunciado trata de escoamento laminar de água em tubo horizontal de comprimento L=15,0 m, viscosidade dinâmica eta e queda de pressão De<a P mantida por uma bomba. Vamos usar a lei de Hagen–Poiseuille, que diz que a vazão volumétrica Q num tubo de raio R é
Q = pi,De<a P,R^48,eta,L
Para cada item:
– (a) dado D=9,00 cm, eta=1,005times10^-3 Pacdot s e De<a P=1200 Pa, calcular Q.
– (b) para manter o mesmo Q num tubo de D=3,00 cm, achar De<a P.
– (c) de volta ao tubo de (a) e De<a P=1200 Pa, mas agora eta=0,469times10^-3 Pacdot s, achar o novo Q.

Passo 2

Calcular a vazão para D=9,00 cm. O raio é
R=D2=0,045 m
Substituindo em
Q=pi,(1200),(0,045)^48,(1,005times10^-3),(15,0),
temos numerador picdot1200cdot(0,045)^4approx0,01545 e denominador 8cdot1,005times10^-3cdot15,0approx0,1206. Logo
Qapprox0,015450,1206approx0,1283 m^3/s

Passo 3

Para o tubo de D=3,00 cm ( R=0,015 m) manter o mesmo Q exige nova queda de pressão De<a P2. Como
QproptoDe<a P,R^4eta,L,
para mesma eta, L e Q vem
De<a P21200=l(R1R2r)^4 =l(0,0450,015r)^4=3^4=81,
então
De<a P2=1200times81=97200 Pa

Passo 4

Voltando ao tubo de D=9,00 cm e De<a P=1200 Pa, mas agora eta=0,469times10^-3 Pacdot s, temos
Qpropto1eta,
portanto
Q3=Q1,eta1eta2 =0,1283cdot1,005times10^-30,469times10^-3 approx0,1283times2,144approx0,2754 m^3/s

Resposta

(a) Qapprox0,128 m^3/s
(b) De<a Papprox9,72times10^4 Pa
(c) Qapprox0,275 m^3/s

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