Uma bala de canhão de massa está perto de uma árvore na beira de um penhasco a acima da superfície do oceano. Em um esforço para derrubar a bala de canhão do penhasco, algumas crianças amarram uma ponta de uma corda em torno de uma pedra de massa e a outra em um galho de árvore bem acima da bala. Elas apertam a corda de maneira que a pedra apenas roce o chão e fique pendurada perto da bala. As crianças conseguem balançar a pedra de volta até que ela fique em repouso acima do chão. As crianças soltam a pedra, que em seguida balança e faz uma colisão frontal elástica com a bala de canhão, projetando-a horizontalmente para fora do penhasco. A bala de canhão pousa no oceano a uma distância horizontal de sua posição inicial. (a) Encontre a componente horizontal do deslocamento da bala, uma vez que ela depende de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma bala de canhão de massa perto de uma árvore sobre um penhasco de acima do oceano. Crianças estão tentando tirar essa bala do penhasco usando uma pedra de amarrada a uma corda. A pedra é puxada para acima do chão e depois solta, colide de forma elástica com a bala, que é lançada horizontalmente. Queremos encontrar a distância horizontal que a bala percorre até cair no oceano, em função da massa .
Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia, conservação de quantidade de movimento em colisões elásticas e movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a pedra é puxada e liberada. Quando a pedra está a do chão, ela tem energia potencial devido à sua altura. Ao ser solta, essa energia se transforma em energia cinética conforme ela desce.
A energia potencial gravitacional ( ) é dada por:
onde:
  • é a massa da pedra ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura ( )

Passo 3

Quando a pedra atinge a posição mais baixa, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética ( ):
Igualando as duas expressões de energia:
Os se cancelam, e podemos resolver para a velocidade ( ) da pedra quando ela está na posição mais baixa:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, quando a pedra se move com essa velocidade de em direção à bala de canhão, ocorre uma colisão elástica entre a pedra e a bala.
Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
A quantidade de movimento ( ) é dada por:
A energia cinética ( ) já vimos que é .
Vamos aplicar as fórmulas de colisão elástica para encontrar a velocidade da bala após a colisão.

Passo 5

Nas colisões elásticas, as velocidades após a colisão são dadas por:
onde:
  • é a massa da pedra ( )
  • é a massa da bala ( )
  • é a velocidade inicial da pedra ( )
  • é a velocidade da pedra após a colisão
  • é a velocidade da bala após a colisão
Nos interessa , a velocidade da bala após a colisão:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos a velocidade horizontal da bala ( ), podemos tratar seu movimento como um projétil. A bala é lançada horizontalmente do penhasco, então sua velocidade vertical inicial é zero.
Precisamos encontrar o tempo que a bala leva para cair do penhasco até o oceano. Usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
  • é o tempo de queda
Resolvendo para :

Passo 7

Com o tempo de voo ( ) e a velocidade horizontal ( ), podemos encontrar a distância horizontal que a bala percorre:

Resposta

A componente horizontal do deslocamento da bala é:

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