Uma esfera de movendo-se com uma velocidade definida por ( ) bate em outra esfera de massa movendo-se com uma velocidade inicial . © E se? Considere a velocidade da esfera de após a colisão como ( . Encontre o valor de e a velocidade da esfera de após uma colisão elástica.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma colisão entre duas esferas. A primeira esfera tem uma massa de e está se movendo com a velocidade . A segunda esfera tem uma massa de e está indo com a velocidade . Após a colisão, sabemos que a velocidade da primeira esfera muda para . Nosso objetivo é encontrar o valor de e a velocidade da segunda esfera após a colisão, considerando que a colisão é elástica.
Para resolver isso, vamos precisar usar duas leis importantes da física para colisões elásticas:
  1. Conservação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão.
  2. Conservação da energia cinética: A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois da colisão.

Passo 2

Vamos começar aplicando a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento ( ) é dada pelo produto da massa ( ) pela velocidade ( ):
Vamos calcular a quantidade de movimento total antes e depois da colisão para cada direção ( , , e ).
Antes da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera:
Quantidade de movimento total antes:

Passo 3

Depois da colisão:
Sabemos a velocidade da primeira esfera após a colisão: .
Vamos calcular a quantidade de movimento dessa esfera após a colisão:
Vamos chamar a velocidade da segunda esfera após a colisão de .
Assim, a quantidade de movimento da segunda esfera após a colisão será:
A quantidade de movimento total depois:

Passo 4

De acordo com a conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total depois dela em cada direção. Portanto, vamos igualar as componentes correspondentes:
Componente :
Componente :
Componente :
Vamos resolver essas equações uma a uma.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos resolver para a componente :
Aqui, temos duas incógnitas: e . Para resolver isso, precisamos usar a conservação da energia cinética, já que a colisão é elástica.
A energia cinética ( ) é dada por:
Vamos calcular a energia cinética total antes e depois da colisão.
Antes da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera:
Energia cinética total antes:

Passo 6

Depois da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera, lembrando que e :
Energia cinética total depois:
De acordo com a conservação da energia cinética:

Passo 7

Agora, lembrando da equação da quantidade de movimento na direção :
Vamos resolver a equação (2) para uma das variáveis. Vamos resolver para :
Então:
Agora, substituímos esse valor de na equação (1):
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 8

Primeiro, vamos simplificar a parte dentro do quadrado:
Agora, substituímos de volta na equação (1):
Vamos multiplicar todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Expandindo :
Substituindo de volta:
Subtraindo 138 de ambos os lados:

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
onde , , e .
Calculando o discriminante ( ):
Agora, calculamos as raízes:
Calculando as duas soluções:
Precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido fisicamente. Geralmente, escolhemos a solução que mantém a direção da colisão consistente com as velocidades pós-colisão.

Passo 10

Com o valor de , vamos verificar se satisfaz a equação da quantidade de movimento:
Vamos calcular a energia cinética total depois:
Isso confirma que é a solução correta.

Resposta

O valor de é aproximadamente , e a velocidade da esfera de após a colisão é .

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