Uma esfera de
movendo-se com uma velocidade definida por (
)
bate em outra esfera de massa
movendo-se com uma velocidade inicial
. © E se? Considere a velocidade da esfera de
após a colisão como (
. Encontre o valor de
e a velocidade da esfera de
após uma colisão elástica.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma colisão entre duas esferas. A primeira esfera tem uma massa de
e está se movendo com a velocidade
. A segunda esfera tem uma massa de
e está indo com a velocidade
. Após a colisão, sabemos que a velocidade da primeira esfera muda para
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
e a velocidade da segunda esfera após a colisão, considerando que a colisão é elástica.
Para resolver isso, vamos precisar usar duas leis importantes da física para colisões elásticas:
- Conservação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão.
- Conservação da energia cinética: A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois da colisão.
Passo 2
Vamos começar aplicando a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento (
) é dada pelo produto da massa (
) pela velocidade (
):
Vamos calcular a quantidade de movimento total antes e depois da colisão para cada direção (
,
, e
).
Antes da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera:
Quantidade de movimento total antes:
Passo 3
Depois da colisão:
Sabemos a velocidade da primeira esfera após a colisão:
.
Vamos calcular a quantidade de movimento dessa esfera após a colisão:
Vamos chamar a velocidade da segunda esfera após a colisão de
.
Assim, a quantidade de movimento da segunda esfera após a colisão será:
A quantidade de movimento total depois:
Passo 4
De acordo com a conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total depois dela em cada direção. Portanto, vamos igualar as componentes correspondentes:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Vamos resolver essas equações uma a uma.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para a componente
:
Aqui, temos duas incógnitas:
e
. Para resolver isso, precisamos usar a conservação da energia cinética, já que a colisão é elástica.
A energia cinética (
) é dada por:
Vamos calcular a energia cinética total antes e depois da colisão.
Antes da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera:
Energia cinética total antes:
Passo 6
Depois da colisão:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera, lembrando que
e
:
Energia cinética total depois:
De acordo com a conservação da energia cinética:
Passo 7
Agora, lembrando da equação da quantidade de movimento na direção
:
Vamos resolver a equação (2) para uma das variáveis. Vamos resolver para
:
Então:
Agora, substituímos esse valor de
na equação (1):
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 8
Primeiro, vamos simplificar a parte dentro do quadrado:
Agora, substituímos de volta na equação (1):
Vamos multiplicar todos os termos por 12 para eliminar o denominador:
Expandindo
:
Substituindo de volta:
Subtraindo 138 de ambos os lados:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculamos as raízes:
Calculando as duas soluções:
Precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido fisicamente. Geralmente, escolhemos a solução que mantém a direção da colisão consistente com as velocidades pós-colisão.
Passo 10
Com o valor de
, vamos verificar se satisfaz a equação da quantidade de movimento:
Vamos calcular a energia cinética total depois:
Isso confirma que
é a solução correta.
Resposta
O valor de
é aproximadamente
, e a velocidade da esfera de
após a colisão é
.