Uma barra delgada de massa
e comprimento
gira em torno de um eixo preso a uma de suas extremidades com velocidade angular
. Calcule a energia cinética da barra. (Sugestão: divida a barra em pastilhas finas e some as energias das pastilhas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra fininha com massa
e comprimento
girando em torno de um dos extremos com uma velocidade angular
. Nosso objetivo é calcular a energia cinética dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de cinética rotacional e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto que está girando é dada por:
Aqui,
é o momento de inércia, que depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, para encontrar o momento de inércia
da barra, vamos considerar que ela é formada por muitas pastilhas fininhas (pequenos pedaços). Cada pastilha tem uma massa infinitesimal
e está a uma distância
do eixo de rotação.
O momento de inércia de cada pastilha é:
Passo 4
Como a barra tem massa total
e comprimento
, podemos dizer que a densidade linear de massa é:
Portanto, a massa de uma pastilha de comprimento
é:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Para encontrar o momento de inércia total
, vamos integrar
de
até
:
Passo 6
Calculando a integral:
Então:
Passo 7
Agora que temos o momento de inércia
, vamos substituir na fórmula da energia cinética rotacional:
Resposta
A energia cinética da barra é: