Uma barra delgada de massa e comprimento gira em torno de um eixo preso a uma de suas extremidades com velocidade angular . Calcule a energia cinética da barra. (Sugestão: divida a barra em pastilhas finas e some as energias das pastilhas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra fininha com massa e comprimento girando em torno de um dos extremos com uma velocidade angular . Nosso objetivo é calcular a energia cinética dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de cinética rotacional e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto que está girando é dada por:
é
Aqui, é o momento de inércia, que depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, para encontrar o momento de inércia da barra, vamos considerar que ela é formada por muitas pastilhas fininhas (pequenos pedaços). Cada pastilha tem uma massa infinitesimal e está a uma distância do eixo de rotação.
O momento de inércia de cada pastilha é:

Passo 4

Como a barra tem massa total e comprimento , podemos dizer que a densidade linear de massa é:
Portanto, a massa de uma pastilha de comprimento é:

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos:
Para encontrar o momento de inércia total , vamos integrar de até :

Passo 6

Calculando a integral:
Então:

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia , vamos substituir na fórmula da energia cinética rotacional:
é

Resposta

A energia cinética da barra é:
é

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