Enunciado

9) De acordo com a lei da gravitação de Newton, a Terra (massa M ) atrai uma partícula de massa m com uma força de intensidade ( G é a constante gravitacional)

f r = G M m r 2

Onde r é a distância da partícula ao centro da Terra. Suponha, agora, que a partícula seja lançada da superfície da Terra com uma velocidade v 0 > 0 e que a única força atuando sobre ela seja a gravitacional. Mostre que o menor valor de v 0   para que a partícula não retorne à terra é 2 G M R , onde M e R são, respectivamente, a massa e o raio da Terra. (Despreze a rotação da Terra.)

Passo 1

Oi, galerinha! Para resolver essa questão vamos ter que lembrar alguns conceitos da física!

Lá da física, temos o seguinte:

F → =   m a →

Onde, F é força e a é aceleração.

O enunciado nos forneceu a seguinte equação,

f r = G M m r 2

Igualando as duas, temos

m a =   G M m r 2 →   a =   G M r 2     ( i )

Lá da cinemática, temos que a velocidade é variação da posição ao longo do tempo, ou seja,

v = d r d t

Onde, r está representando a posição,

Já a aceleração é a variação da velocidade ao longo do tempo, ou seja,

  a = d v d t

Isolando o d t , temos

d t = d r v e d t = d v a

Igualando , temos:

a   d r   = v   d v   ( i i )

Juntando as relações i   e   i i :

G M r 2 d r = v   d v

Agora vamos integrar!!

∫ x ( 0 ) x ( t ) G M r 2 d r = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

Vamos escolher o limite de integração inferior como t = 0 , pois temos informações sobre ele 😉

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Como o G M é constante, então podemos tira-lo da integral!

G M ∫ R r 1 r 2 d r = ∫ v 0 v v   d v

Pelo enunciado, temos que x 0 = R e v 0 = v 0 .

Resolvendo essas integrais, ficamos com,

G M 1 r | R r = v 2 2 | v 0 v

Passo 3

Agora vamos terminar!

G M 1 r - 1 R = v 2 2 - v 0 2 2

Para a partícula não retornar mais pra terra: r → ∞   logo   1 r → 0   :

G M - 1 R = v 2 2 - v 0 2 2 → v 0 2 = v 2 + 2 G M R

Teremos o menor valor para v 0 ,   quando v 2   =   0 !

G M - 1 R = - v 0 2 2 → v 0 = 2 G M R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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