Uma bicicleta é virada de cabeça para baixo para que seu dono repare um pneu furado na roda traseira. Uma amiga gira a roda dianteira, de raio , e observa que gotas de água se desprendem tangencialmente em uma direção para cima quando as gotas estão no mesmo nível que o centro da roda. Ela mede a altura atingida pelas gotas que se movem verticalmente (Fig. P10.68). Uma gota que se solta do pneu
em uma volta sobe acima do ponto de tangência. Uma gota que escapa na próxima volta sobe a acima do ponto de tangência. A altura até a qual a gota sobe diminui porque a velocidade angular da roda decresce. A partir dessas informações, determine o módulo da aceleração angular média da roda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma bicicleta virada de cabeça para baixo, e a roda dianteira está girando. Quando uma gota de água sai da roda, ela sobe até uma certa altura antes de cair. As medidas que temos são que na primeira vez que a gota sai, ela sobe 54,0 cm, e na próxima vez, sobe 51,0 cm. A velocidade angular da roda está diminuindo, e queremos descobrir qual é a aceleração angular média dessa roda.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e energia. Precisaremos relacionar a altura que a gota sobe com a velocidade da roda e, a partir disso, encontrar a aceleração angular média.

Passo 2

Primeiro, vamos conectar a altura que a gota sobe com a velocidade inicial dela ao sair da roda. Quando a gota é lançada para cima, ela tem uma certa velocidade que a faz subir até uma altura máxima onde sua velocidade fica zero.
A relação entre a altura e a velocidade inicial é dada pela equação da conservação de energia:
Onde:
  • é a altura que a gota sobe,
  • é a velocidade inicial da gota,
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Vamos calcular as velocidades iniciais e para as alturas e .

Passo 3

Calculando a velocidade inicial para a primeira gota:
E para a segunda gota:

Passo 4

Agora, vamos relacionar essas velocidades com a velocidade angular da roda. A velocidade tangencial está ligada à velocidade angular pela fórmula:
Onde é o raio da roda. Então, as velocidades angulares correspondentes são:
A aceleração angular média é a variação da velocidade angular dividida pelo intervalo de tempo entre as duas medições. Como as gotas são lançadas em revoluções consecutivas, o tempo é o período da roda.
O período pode ser aproximado usando a velocidade angular média:
é
Vamos calcular :
é
Agora, a aceleração angular média:

Resposta

A aceleração angular média da roda é aproximadamente no sentido de redução.

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