S Uma bola de massa é jogada para cima no ar com uma velocidade escalar inicial . Encontre o momento da bola (b) a meio caminho de sua altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola de massa que é lançada para cima com uma velocidade inicial . A gente precisa encontrar o momento (ou quantidade de movimento) da bola quando ela está a meio caminho da altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, principalmente como a velocidade muda com a altura e como isso afeta o momento da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento (ou quantidade de movimento) é dado pela fórmula:
onde é o momento, é a massa e é a velocidade da bola.

Passo 3

A bola está subindo até a metade da altura máxima. Nesse ponto, a velocidade da bola não é mais a inicial porque a gravidade está agindo contra o movimento, reduzindo a velocidade à medida que a bola sobe.

Passo 4

Para encontrar a velocidade da bola nesse ponto, vamos usar a equação da conservação de energia ou as equações de movimento uniformemente variado. Vamos optar por usar a segunda opção, que é mais direta para encontrar a velocidade em uma certa posição.
A equação que relaciona a velocidade inicial, a aceleração e a distância é:
onde:
  • é a velocidade final,
  • é a velocidade inicial ( ),
  • é a aceleração (no caso, a aceleração devido à gravidade, que vai ser , já que está subtraindo da velocidade),
  • é a distância percorrida até aquele ponto.

Passo 5

Precisamos encontrar a altura máxima primeiro para depois determinar a posição a meio caminho. A altura máxima ocorre quando a velocidade final é zero.
Usando a mesma equação:
Resolvendo para :

Passo 6

A meio caminho da altura máxima é:

Passo 7

Agora que temos , vamos substituir na equação da velocidade:
Simplificando:
Portanto:

Resposta

O momento da bola a meio caminho da sua altura máxima é:

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