S Uma bola de massa
é jogada para cima no ar com uma velocidade escalar inicial
. Encontre o momento da bola (b) a meio caminho de sua altura máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola de massa
que é lançada para cima com uma velocidade inicial
. A gente precisa encontrar o momento (ou quantidade de movimento) da bola quando ela está a meio caminho da altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, principalmente como a velocidade muda com a altura e como isso afeta o momento da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento (ou quantidade de movimento) é dado pela fórmula:
onde
é o momento,
é a massa e
é a velocidade da bola.
Passo 3
A bola está subindo até a metade da altura máxima. Nesse ponto, a velocidade da bola não é mais a inicial
porque a gravidade está agindo contra o movimento, reduzindo a velocidade à medida que a bola sobe.
Passo 4
Para encontrar a velocidade da bola nesse ponto, vamos usar a equação da conservação de energia ou as equações de movimento uniformemente variado. Vamos optar por usar a segunda opção, que é mais direta para encontrar a velocidade em uma certa posição.
A equação que relaciona a velocidade inicial, a aceleração e a distância é:
onde:
-
é a velocidade final, -
é a velocidade inicial ( ), -
é a aceleração (no caso, a aceleração devido à gravidade, que vai ser , já que está subtraindo da velocidade), -
é a distância percorrida até aquele ponto.
Passo 5
Precisamos encontrar a altura máxima primeiro para depois determinar a posição a meio caminho. A altura máxima ocorre quando a velocidade final
é zero.
Usando a mesma equação:
Resolvendo para
:
Passo 6
A meio caminho da altura máxima é:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir na equação da velocidade:
Simplificando:
Portanto:
Resposta
O momento da bola a meio caminho da sua altura máxima é: