Um carrossel está estacionário. Um cachorro corre ao redor dele, no chão, logo ao lado de sua circunferência, movendo-se com velocidade angular constante de . O cachorro não muda seu ritmo quando vê o que estava procurando: um osso repousando na borda do carrossel um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso ( ), o carrossel começa a se mover na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração angular constante de . (a) Em que instante o cachorro alcançará o osso?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no problema. Temos um carrossel que está parado inicialmente, e um cachorro que começa a correr ao seu redor com uma velocidade angular constante de . O cachorro avista um osso que está localizado a um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso ( ), o carrossel começa a acelerar angularmente na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração constante de . Nosso objetivo é descobrir em que instante o cachorro alcançará o osso.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cinemática rotacional, especificamente as equações do movimento angular. Precisaremos relacionar a posição angular do cachorro com a posição angular do osso ao longo do tempo e encontrar o momento em que essas posições serão iguais.

Passo 2

Vamos definir algumas variáveis importantes:
  • : velocidade angular constante do cachorro.
  • : aceleração angular do carrossel.
  • : posição angular inicial do osso em relação ao cachorro.
O cachorro está correndo na direção positiva com velocidade angular constante, enquanto o carrossel está começando a acelerar na mesma direção.

Passo 3

Vamos determinar as posições angulares do cachorro e do osso ao longo do tempo.
A posição angular do cachorro em função do tempo pode ser expressa como:
Já a posição angular do osso está ligada ao movimento do carrossel, que está acelerando. Como o carrossel parte do repouso, a posição angular do osso será:
Para que o cachorro alcance o osso, as posições angulares devem ser iguais:
Substituindo as expressões:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar essa equação para resolver em relação a :
Essa é uma equação quadrática do tipo , onde:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de , e :

Passo 6

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções para :
Portanto:

Passo 7

Analisando as soluções, descartamos porque é um tempo muito longo e não faz sentido fisicamente no contexto, restando:

Resposta

O cachorro alcançará o osso aproximadamente em segundos.

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