Um carrossel está estacionário. Um cachorro corre ao redor dele, no chão, logo ao lado de sua circunferência, movendo-se com velocidade angular constante de
. O cachorro não muda seu ritmo quando vê o que estava procurando: um osso repousando na borda do carrossel um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso (
), o carrossel começa a se mover na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração angular constante de
. (a) Em que instante o cachorro alcançará o osso?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no problema. Temos um carrossel que está parado inicialmente, e um cachorro que começa a correr ao seu redor com uma velocidade angular constante de
. O cachorro avista um osso que está localizado a um terço de uma revolução à sua frente. No instante em que o cachorro vê o osso (
), o carrossel começa a acelerar angularmente na mesma direção em que o cachorro está correndo, com uma aceleração constante de
. Nosso objetivo é descobrir em que instante o cachorro alcançará o osso.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cinemática rotacional, especificamente as equações do movimento angular. Precisaremos relacionar a posição angular do cachorro com a posição angular do osso ao longo do tempo e encontrar o momento em que essas posições serão iguais.
Passo 2
Vamos definir algumas variáveis importantes:
-
: velocidade angular constante do cachorro. -
: aceleração angular do carrossel. -
: posição angular inicial do osso em relação ao cachorro.
O cachorro está correndo na direção positiva com velocidade angular constante, enquanto o carrossel está começando a acelerar na mesma direção.
Passo 3
Vamos determinar as posições angulares do cachorro e do osso ao longo do tempo.
A posição angular do cachorro em função do tempo pode ser expressa como:
Já a posição angular do osso está ligada ao movimento do carrossel, que está acelerando. Como o carrossel parte do repouso, a posição angular do osso será:
Para que o cachorro alcance o osso, as posições angulares devem ser iguais:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar essa equação para resolver em relação a
:
Essa é uma equação quadrática do tipo
, onde:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de
,
e
:
Passo 6
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções para
:
Portanto:
Passo 7
Analisando as soluções, descartamos
porque é um tempo muito longo e não faz sentido fisicamente no contexto, restando:
Resposta
O cachorro alcançará o osso aproximadamente em
segundos.