Considere um cometa que passa através de seu afélio com uma distância
do Sol. Imagine que, mantendo
fixo, de alguma forma, fazemos o momento angular
cada vez menor, embora não exatamente zero; ou seja, fazemos
. Use as Equações (8.48) e (8.50) para mostrar que nesse limite a excentricidade
da órbita elíptica tende a 1 e que a distância de maior aproximação
tende a zero. Descreva a órbita
fixo, mas
muito pequeno. Qual é o semieixo maior
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre órbitas de cometas! O enunciado fala sobre um cometa que passa pelo afélio, ou seja, o ponto mais distante do Sol na sua órbita, com uma distância fixa
. A gente vai usar as equações (8.48) e (8.50) para mostrar que, conforme o momento angular
diminui e se aproxima de zero, a excentricidade
da órbita se aproxima de 1 e a distância de menor aproximação
se aproxima de zero. No final, vamos descobrir qual é o semieixo maior
dessa órbita com
fixo e
muito pequeno. Para isso, precisamos entender os conceitos de momento angular, excentricidade e os parâmetros das órbitas elípticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a excentricidade
está relacionada ao momento angular
em uma órbita elíptica. A equação (8.48) provavelmente relaciona
com
e a distância máxima
. Vamos assumir que:
onde
é a energia total da órbita e
é o parâmetro gravitacional. Mas como estamos lidando com órbitas elípticas, podemos simplificar considerando que
.
Passo 3
Agora, considerando que o momento angular
está diminuindo e se aproximando de zero (
), vamos analisar o efeito disso na excentricidade
. Observando a fórmula, quando
tende a zero, o termo
também tende a zero, fazendo com que:
Ou seja, a excentricidade está se aproximando de 1, o que caracteriza uma órbita muito alongada, quase parabólica.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com a distância de menor aproximação
. Sabemos que:
onde
é o semieixo maior da órbita. Como
:
Portanto, a distância de menor aproximação está se aproximando de zero.
Passo 5
Com
fixo e
se aproximando de 1, podemos relacionar o semieixo maior
usando a relação entre
,
e
:
Como
:
Resposta
O semieixo maior
da órbita é igual a
.