Usando a Lagrangiana (8.13), obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas e mostre claramente que o movimento da posição relativa ré o mesmo que o de uma única partícula com posição , energia potencial e massa igual à massa reduzida .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lagrangiana, especificamente a equação (8.13), para descobrir as três equações de movimento nas coordenadas relativas , e . Além disso, temos que mostrar que o movimento dessa posição relativa é igual ao de uma única partícula com uma certa posição , energia potencial e uma massa chamada de massa reduzida . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lagrangiana e como ela funciona nas coordenadas relativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. Ela é definida como , onde é a energia cinética e é a energia potencial do sistema. No caso de duas partículas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada partícula, e a energia potencial depende da distância entre elas.

Passo 3

Agora, vamos expressar as posições das duas partículas. Suponha que temos duas partículas com massas e e posições e . A posição relativa é . Também podemos definir o centro de massa do sistema, mas como o exercício foca na posição relativa, vamos focar nela.

Passo 4

A energia cinética total do sistema pode ser escrita em termos da velocidade relativa . Usando a massa reduzida , que é dada por , temos:
Isso simplifica a expressão, facilitando os cálculos.

Passo 5

A energia potencial depende apenas da distância entre as partículas, ou seja, de . Então, podemos escrever . Agora, a Lagrangiana fica:

Passo 6

Com a Lagrangiana em mãos, podemos usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar as equações de movimento. Para cada coordenada , e , temos:
onde representa cada coordenada , e .

Passo 7

Calculando as derivadas parciais para cada coordenada, percebemos que as equações de movimento são semelhantes às de uma única partícula com massa e potencial . Isso mostra que o movimento relativo pode ser descrito como o movimento de uma única partícula nesse potencial.

Resposta

As três equações de movimento para as coordenadas relativas , e são dadas por:
E, portanto, o movimento da posição relativa é equivalente ao de uma única partícula com posição , energia potencial e massa igual à massa reduzida .

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