Usando a Lagrangiana (8.13), obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas
e mostre claramente que o movimento da posição relativa ré o mesmo que o de uma única partícula com posição
, energia potencial
e massa igual à massa reduzida
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lagrangiana, especificamente a equação (8.13), para descobrir as três equações de movimento nas coordenadas relativas
,
e
. Além disso, temos que mostrar que o movimento dessa posição relativa é igual ao de uma única partícula com uma certa posição
, energia potencial
e uma massa chamada de massa reduzida
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lagrangiana e como ela funciona nas coordenadas relativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. Ela é definida como
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial do sistema. No caso de duas partículas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada partícula, e a energia potencial depende da distância entre elas.
Passo 3
Agora, vamos expressar as posições das duas partículas. Suponha que temos duas partículas com massas
e
e posições
e
. A posição relativa é
. Também podemos definir o centro de massa do sistema, mas como o exercício foca na posição relativa, vamos focar nela.
Passo 4
A energia cinética total
do sistema pode ser escrita em termos da velocidade relativa
. Usando a massa reduzida
, que é dada por
, temos:
Isso simplifica a expressão, facilitando os cálculos.
Passo 5
A energia potencial
depende apenas da distância entre as partículas, ou seja, de
. Então, podemos escrever
. Agora, a Lagrangiana fica:
Passo 6
Com a Lagrangiana em mãos, podemos usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar as equações de movimento. Para cada coordenada
,
e
, temos:
onde
representa cada coordenada
,
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas parciais para cada coordenada, percebemos que as equações de movimento são semelhantes às de uma única partícula com massa
e potencial
. Isso mostra que o movimento relativo pode ser descrito como o movimento de uma única partícula nesse potencial.
Resposta
As três equações de movimento para as coordenadas relativas
,
e
são dadas por:
E, portanto, o movimento da posição relativa
é equivalente ao de uma única partícula com posição
, energia potencial
e massa igual à massa reduzida
.