B As coordenadas de um corpo se movendo no plano
variam com o tempo de acordo com as equaçōes
e
, onde
é uma constante,
e
estāo dados em metros e
em segundos. (b) Determine as componentes de aceleraçâo do corpo em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que se move no plano
com as coordenadas dependendo do tempo
pelas equações:
Queremos achar as componentes da aceleração desse corpo no instante
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar a aceleração a partir das posições
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar
e
duas vezes para achar
e
.
Passo 3
Vamos começar com a função .
Primeira derivada (Velocidade em
):
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função seno.
Segunda derivada (Aceleração em
):
Derivamos novamente, lembrando que a derivada do cosseno é menos seno.
Passo 4
Agora, vamos com a função
.
Primeira derivada (Velocidade em
):
A constante 4,00 desaparece porque a derivada de uma constante é zero.
Segunda derivada (Aceleração em
):
Derivamos novamente, sabendo que a derivada do seno é o cosseno.
Passo 5
Agora que temos as expressões para
e
, vamos avaliar essas acelerações no instante
.
Resposta
As componentes da aceleração do corpo em
são: