B As coordenadas de um corpo se movendo no plano variam com o tempo de acordo com as equaçōes e , onde é uma constante, e estāo dados em metros e em segundos. (b) Determine as componentes de aceleraçâo do corpo em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que se move no plano com as coordenadas dependendo do tempo pelas equações:
Queremos achar as componentes da aceleração desse corpo no instante . Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, para encontrar a aceleração a partir das posições e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar e duas vezes para achar e .

Passo 3

Vamos começar com a função .
Primeira derivada (Velocidade em ):
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função seno.
Segunda derivada (Aceleração em ):
Derivamos novamente, lembrando que a derivada do cosseno é menos seno.

Passo 4

Agora, vamos com a função .
Primeira derivada (Velocidade em ):
A constante 4,00 desaparece porque a derivada de uma constante é zero.
Segunda derivada (Aceleração em ):
Derivamos novamente, sabendo que a derivada do seno é o cosseno.

Passo 5

Agora que temos as expressões para e , vamos avaliar essas acelerações no instante .

Resposta

As componentes da aceleração do corpo em são:

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