Uma corda de aço de guitarra com diâmetro de é esticada entre suportes a de distância um do outro. A temperatura é . A frequência fundamental das oscilações transversas da corda é 200 Hz . Qual é a tensão na corda? Em seguida, a temperatura é elevada para . Encontre o valor resultante da frequência fundamental. Suponha que o módulo de Young e o coeficiente de expansão média tenham valores constantes entre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma corda de guitarra de aço com diâmetro de 1,00 mm, esticada entre dois suportes 80,0 cm separados. Inicialmente, a temperatura é 0,0°C e a frequência fundamental das oscilações é 200 Hz. Precisamos descobrir a tensão na corda. Depois, a temperatura sobe para 30,0°C e queremos saber qual fica a nova frequência fundamental. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações em cordas, tensão, frequência fundamental, e também considerar como a temperatura afeta essas propriedades usando o módulo de Young e o coeficiente de expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão na corda quando a temperatura é 0,0°C. A frequência fundamental de uma corda vibrante é dada por:
Onde:
  • é a frequência,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão,
  • é a massa linear da corda.
Precisamos isolar a tensão :

Passo 3

Para encontrar , a massa linear, usamos o diâmetro da corda e a densidade do aço. A massa linear é:
Onde:
  • é a densidade do aço,
  • é a área da seção transversal.
A área de uma corda circular é:
Dado que o diâmetro :
Assumindo que a densidade do aço é aproximadamente :

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da tensão:
Convertendo o comprimento para metros: .
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
Então:

Passo 5

Agora, a temperatura sobe para 30,0°C. Isso provoca uma dilatação térmica na corda. A variação no comprimento devido à temperatura é:
Onde:
  • é o coeficiente de expansão linear,
  • é o comprimento inicial,
  • é a variação de temperatura.
Dado que , , e :

Passo 6

A corda tenta se expandir, mas está fixa entre os suportes. Essa tensão adicional gerada pela tentativa de expansão pode ser calculada usando o módulo de Young:
Onde:
  • é o módulo de Young,
  • é a área da seção transversal,
  • é a variação no comprimento,
  • é o comprimento inicial.
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:

Passo 7

A nova tensão na corda após o aumento de temperatura é a tensão inicial mais a variação:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a nova frequência fundamental com a tensão aumentada. A fórmula continua sendo:
Substituindo os valores:
Calculando dentro da raiz:
Então:
E finalmente:

Resposta

A tensão na corda inicialmente é aproximadamente 631,17 N. Após o aumento da temperatura para 30,0 °C, a frequência fundamental passa para cerca de 208,13 Hz.

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