Uma corda de aço de guitarra com diâmetro de
é esticada entre suportes a
de distância um do outro. A temperatura é
. A frequência fundamental das oscilações transversas da corda é 200 Hz . Qual é a tensão na corda? Em seguida, a temperatura é elevada para
. Encontre o valor resultante da frequência fundamental. Suponha que o módulo de Young
e o coeficiente de expansão média
tenham valores constantes entre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma corda de guitarra de aço com diâmetro de 1,00 mm, esticada entre dois suportes 80,0 cm separados. Inicialmente, a temperatura é 0,0°C e a frequência fundamental das oscilações é 200 Hz. Precisamos descobrir a tensão na corda. Depois, a temperatura sobe para 30,0°C e queremos saber qual fica a nova frequência fundamental. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações em cordas, tensão, frequência fundamental, e também considerar como a temperatura afeta essas propriedades usando o módulo de Young e o coeficiente de expansão térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão na corda quando a temperatura é 0,0°C. A frequência fundamental de uma corda vibrante é dada por:
Onde:
-
é a frequência, -
é o comprimento da corda, -
é a tensão, -
é a massa linear da corda.
Precisamos isolar a tensão
:
Passo 3
Para encontrar
, a massa linear, usamos o diâmetro da corda e a densidade do aço. A massa linear é:
Onde:
-
é a densidade do aço, -
é a área da seção transversal.
A área
de uma corda circular é:
Dado que o diâmetro
:
Assumindo que a densidade do aço
é aproximadamente
:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da tensão:
Convertendo o comprimento para metros:
.
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
Então:
Passo 5
Agora, a temperatura sobe para 30,0°C. Isso provoca uma dilatação térmica na corda. A variação no comprimento
devido à temperatura é:
Onde:
-
é o coeficiente de expansão linear, -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura.
Dado que
,
, e
:
Passo 6
A corda tenta se expandir, mas está fixa entre os suportes. Essa tensão adicional gerada pela tentativa de expansão pode ser calculada usando o módulo de Young:
Onde:
-
é o módulo de Young, -
é a área da seção transversal, -
é a variação no comprimento, -
é o comprimento inicial.
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Passo 7
A nova tensão na corda após o aumento de temperatura é a tensão inicial mais a variação:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a nova frequência fundamental com a tensão aumentada. A fórmula continua sendo:
Substituindo os valores:
Calculando dentro da raiz:
Então:
E finalmente:
Resposta
A tensão na corda inicialmente é aproximadamente 631,17 N. Após o aumento da temperatura para 30,0 °C, a frequência fundamental passa para cerca de 208,13 Hz.