S Uma corda em um instrumento musical é mantida sob tensão
e se estende a partir do ponto
para o ponto
. A corda é envolvida com um fio de tal maneira que
sua massa por unidade de comprimento
aumenta uniformemente de
para
. (a) Encontre a expressão para
em função de
no intervalo
.
sua massa por unidade de comprimento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma corda em um instrumento musical que está sob tensão
e se estende de
até
. A massa por unidade de comprimento, chamada de
, aumenta de forma uniforme de
em
para
em
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão matemática para
em função de
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de variação linear e funções matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, como a massa por unidade de comprimento
aumenta de forma uniforme ao longo da corda, isso significa que a mudança em
é constante em relação a
. Ou seja,
varia linearmente com
.
Vamos representar essa variação linear com a equação de uma reta:
Aqui,
é a inclinação da reta, que representa a taxa de variação de
em relação a
, e
é o valor inicial de
quando
.
Passo 3
Sabemos que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Também sabemos que quando
,
. Vamos usar isso para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir de volta na equação de
:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A expressão para
em função de
no intervalo
é: