S Uma corda em um instrumento musical é mantida sob tensão e se estende a partir do ponto para o ponto . A corda é envolvida com um fio de tal maneira que
sua massa por unidade de comprimento aumenta uniformemente de para . (a) Encontre a expressão para em função de no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma corda em um instrumento musical que está sob tensão e se estende de até . A massa por unidade de comprimento, chamada de , aumenta de forma uniforme de em para em . Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão matemática para em função de no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de variação linear e funções matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, como a massa por unidade de comprimento aumenta de forma uniforme ao longo da corda, isso significa que a mudança em é constante em relação a . Ou seja, varia linearmente com .
Vamos representar essa variação linear com a equação de uma reta:
Aqui, é a inclinação da reta, que representa a taxa de variação de em relação a , e é o valor inicial de quando .

Passo 3

Sabemos que quando , . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar :
Então, a equação fica:

Passo 4

Também sabemos que quando , . Vamos usar isso para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos , podemos substituir de volta na equação de :

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A expressão para em função de no intervalo é:

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