S Uma corda de massa total e comprimento é suspensa verticalmente. Conforme mostrado no Problema 54, um pulso se propaga a partir da base para o topo da corda em um intervalo de tempo aproximado de com uma velocidade que varia com a posição , medida a partir da base da corda como . Suponha que a equação de onda linear na Seção 2.6 descreva ondas em todas as posições na corda. (b) Um pulso começa a se propagar até o topo da corda. Até que ponto ela viajou após um intervalo de tempo ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma corda de massa total e comprimento pendurada verticalmente. Um pulso (como um “sinal” que viaja pela corda) começa na base e sobe até o topo. A velocidade desse pulso muda conforme ele sobe, sendo , onde é a posição medida a partir da base e é a aceleração da gravidade. Queremos descobrir até onde esse pulso viajou depois de um tempo . Para isso, vamos usar a equação de onda linear, que descreve como ondas se comportam em diferentes posições da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do pulso depende da posição , então não é constante. Para encontrar a distância que o pulso percorre em um certo tempo , precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Sabemos que . Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis e :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos permite encontrar uma relação entre e .
Integrando o lado esquerdo de até :
E o lado direito de até :
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar em função de :

Passo 5

Agora, vamos substituir o valor do tempo na equação para encontrar a distância :

Resposta

Após um intervalo de tempo de , o pulso viajou até um ponto a uma distância de a partir da base da corda.

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