S Uma corda de massa total
e comprimento
é suspensa verticalmente. Conforme mostrado no Problema 54, um pulso se propaga a partir da base para o topo da corda em um intervalo de tempo aproximado de
com uma velocidade que varia com a posição
, medida a partir da base da corda como
. Suponha que a equação de onda linear na Seção 2.6 descreva ondas em todas as posições na corda. (b) Um pulso começa a se propagar até o topo da corda. Até que ponto ela viajou após um intervalo de tempo
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma corda de massa total
e comprimento
pendurada verticalmente. Um pulso (como um “sinal” que viaja pela corda) começa na base e sobe até o topo. A velocidade desse pulso muda conforme ele sobe, sendo
, onde
é a posição medida a partir da base e
é a aceleração da gravidade. Queremos descobrir até onde esse pulso viajou depois de um tempo
. Para isso, vamos usar a equação de onda linear, que descreve como ondas se comportam em diferentes posições da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
do pulso depende da posição
, então não é constante. Para encontrar a distância
que o pulso percorre em um certo tempo
, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.
Sabemos que
. Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis
e
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos permite encontrar uma relação entre
e
.
Integrando o lado esquerdo de
até
:
E o lado direito de
até
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
em função de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir o valor do tempo
na equação para encontrar a distância
:
Resposta
Após um intervalo de tempo de
, o pulso viajou até um ponto a uma distância de
a partir da base da corda.